Problem K. 635. (November 2019)

K. 635. Consider a concave quadrilateral, and draw the diagonal that lies in its interior. The diagonal divides the quadrilateral into two triangles. Prove that the areas of the two triangles are equal if and only if the line of this diagonal bisects the other diagonal.

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Tekintsük az alábbi ábrát:

Ha a \(\displaystyle BD\) átló két egyforma területű háromszögre vágja a négyszöget, akkor ezen háromszögek \(\displaystyle BD\)-hez tartozó magasságai megegyeznek. Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcson keresztül \(\displaystyle BD\)-vel húzott párhuzamosok középpárhuzamosa \(\displaystyle BD\).

Mivel a középpárhuzamos bármely olyan szakaszt felez, mely a párhuzamosok egy-egy pontját köti össze, ezért a \(\displaystyle BD\) egyenes felezi az \(\displaystyle AC\) szakaszt.

Ez az állítás megfordítva is igaz: ha \(\displaystyle BD\) átmegy \(\displaystyle AC\) felezőpontján, akkor a két párhuzamos egyenes középpárhuzamosa, tehát egyenlő távolságra van a két párhuzamostól. Emiatt a két háromszög \(\displaystyle BD\)-hez tartozó magassága megegyezik, vagyis a két háromszög területe is egyenlő.

2. megoldás. Deme Erik (Budapest, Németh László Gimn., 9. o. t.)

Statistics:

142 students sent a solution.
6 points:	Cynolter Dorottya, Deme Erik, Hajós Balázs, Kádár 1115 Júlia, Kaltenecker Balázs Bence, Kedves Benedek János, Kiss-Beck Tamara, Slézia Dávid, Vankó Lóránt Albert, Varga 326 Sebestény, Viczián Dániel, Waldhauser Miklós.
5 points:	Árok Anna, Csintalan Gergely, Somlai Dóra, Tóth Babett.
4 points:	7 students.
3 points:	43 students.
2 points:	15 students.
1 point:	11 students.
0 point:	39 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019