Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 636. feladat (2019. november)

K. 636. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számjegyet, melyre az \(\displaystyle \overline{xyxyxyxy}\) alakú tízes számrendszerbeli nyolcjegyű szám prímtényezős felbontásának leírásakor minden leírt, \(\displaystyle 0\)-tól különböző számjegy ugyanannyiszor szerepel. (A prímtényezős felbontás leírásakor az azonos prímtényezőket nem vonjuk össze hatvánnyá, hanem teljes szorzatként írjuk ki.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle \overline{xyxyxyxy}=\overline{xy}\cdot1010101=\overline{xy}\cdot101\cdot73\cdot137\). A számjegyek között szerepel három \(\displaystyle 1\)-es, két \(\displaystyle 3\)-as és két \(\displaystyle 7\)-es, ezért az prímtényezős felbontásának leírásában legalább egy \(\displaystyle 7\)-es és legalább egy \(\displaystyle 3\)-as szerepel. Ha pontosan ennyi szerepel, akkor az \(\displaystyle \overline{xy}=73\), \(\displaystyle \overline{xy}=37\), illetve \(\displaystyle \overline{xy}=7\cdot3=21\) a megfelelő számok. Ha több hetest és hármast teszünk a számjegyek közé, akkor legalább egy \(\displaystyle 1\)-est is hozzá kell vennünk, azonban ezt össze kell kombinálnunk valamelyik másik számjeggyel. A legkisebb elérhető szám ilyen módon a \(\displaystyle 13\cdot3\cdot7\cdot7\) lenne, ez azonban már nem kétjegyű. Tehát \(\displaystyle 3\)-nál több \(\displaystyle 7\)-es és \(\displaystyle 3\)-as nem tehető be a szám prímtényezős felbontásának számjegyei közé. Az is még egy lehetőség, hogy az egy \(\displaystyle 7\)-es és \(\displaystyle 3\)-as mellé beteszünk még három egyforma számjegyet. Erre a legkisebb lehetőség a \(\displaystyle 2\), azonban a \(\displaystyle 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot7\) már szintén nem kétjegyű. Tehát a megoldás: \(\displaystyle x=7\) és \(\displaystyle y=3\), \(\displaystyle x=3\) és \(\displaystyle y=7\), \(\displaystyle x=2\) és \(\displaystyle y=1\).


Statisztika:

A K. 636. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai