Problem K. 636. (November 2019)

K. 636. Find all possible values of the digits \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) for which every nonzero digit occurs the same number of times in the prime factorization of the eight-digit number \(\displaystyle \overline{xyxyxyxy}\) in decimal notation. (In making the prime factorization, identical prime factors are not written as a power but written down as separate factors.)

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle \overline{xyxyxyxy}=\overline{xy}\cdot1010101=\overline{xy}\cdot101\cdot73\cdot137\). A számjegyek között szerepel három \(\displaystyle 1\)-es, két \(\displaystyle 3\)-as és két \(\displaystyle 7\)-es, ezért az prímtényezős felbontásának leírásában legalább egy \(\displaystyle 7\)-es és legalább egy \(\displaystyle 3\)-as szerepel. Ha pontosan ennyi szerepel, akkor az \(\displaystyle \overline{xy}=73\), \(\displaystyle \overline{xy}=37\), illetve \(\displaystyle \overline{xy}=7\cdot3=21\) a megfelelő számok. Ha több hetest és hármast teszünk a számjegyek közé, akkor legalább egy \(\displaystyle 1\)-est is hozzá kell vennünk, azonban ezt össze kell kombinálnunk valamelyik másik számjeggyel. A legkisebb elérhető szám ilyen módon a \(\displaystyle 13\cdot3\cdot7\cdot7\) lenne, ez azonban már nem kétjegyű. Tehát \(\displaystyle 3\)-nál több \(\displaystyle 7\)-es és \(\displaystyle 3\)-as nem tehető be a szám prímtényezős felbontásának számjegyei közé. Az is még egy lehetőség, hogy az egy \(\displaystyle 7\)-es és \(\displaystyle 3\)-as mellé beteszünk még három egyforma számjegyet. Erre a legkisebb lehetőség a \(\displaystyle 2\), azonban a \(\displaystyle 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot7\) már szintén nem kétjegyű. Tehát a megoldás: \(\displaystyle x=7\) és \(\displaystyle y=3\), \(\displaystyle x=3\) és \(\displaystyle y=7\), \(\displaystyle x=2\) és \(\displaystyle y=1\).

Statistics:

92 students sent a solution.
6 points:	Abonyi Bence, Ágoston Barbara, Árok Anna, Atanaszov Hedvig, Besze Zsolt, Csuvár Ákos, Cynolter Dorottya, Cziráki Boglárka, Ferencz Mátyás, Gardev Dániel, Gere Gábor, Hajós Balázs, Hangodi Hajnalka, Hartmann Botond, Jaskó Martin Csaba, Kaltenecker Balázs Bence, Kmeczó András, Kurucz Márton, Nagy 999 Csanád, Nemeskéri Dániel, Pálfi Fruzsina Karina, Pekk Márton, Radzik Réka, Schleier Anna , Sipos Dorka, Szirtes Hanna, Tóth Gréta, Van Rijs Dóra, Van Rijs Luca, Vékási Flóra, Waldhauser Miklós, Welther Károly.
5 points:	Csorba Mihály, Deák Gergely, Fekete Patrik, Havasi Marcell Milán, Kádár 1115 Júlia, Murár András , Sebők Tímea, Somlai Dóra, Szabó Viktória, Varga 326 Sebestény.
4 points:	15 students.
3 points:	3 students.
2 points:	13 students.
1 point:	8 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019