Problem K. 637. (November 2019)

K. 637. Let us consider the integer \(\displaystyle 12345678901234567890\ldots 1234567890\) consisting of 2020 digits. First we remove the digits at every odd position. Then, from the remaining 1010 digits, we remove the digits at every even position. Then, repeating in the same way, from the remaining 505 digits, we remove the digits at every odd position. This alternating process is continued until a single digit remains. Determine this digit.

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először kihúzzuk a páratlan helyen álló számjegyeket, tehát azok maradnak, amelyek sorszáma \(\displaystyle 2k\) alakú (\(\displaystyle k = 1, 2, 3\), ....). A második körben kihúzzuk ezek közül azokat, melyekre \(\displaystyle k\) páros, azaz maradnak a \(\displaystyle 2(2n–1) = 4n–2\) sorszámú helyen álló számjegyek (\(\displaystyle n = 1, 2, 3\), ....). A következőben azokat húzzuk ki, amelyekre n páratlan, így megmaradnak a \(\displaystyle 4(2m)–2 = 8m–1\) alakú számok. Ezt folytatva rendre azt kapjuk, hogy maradnak a \(\displaystyle 8(2v–1)–2=16v–10\), \(\displaystyle 16(2w)–10 = 32w–10\), \(\displaystyle 32(2x–1)–10 = 64x–42\), \(\displaystyle 64(2y)–42=128y–42\), \(\displaystyle 128(2y–1)–42=256y–170\), \(\displaystyle 256(2z)–170=512z–170\), \(\displaystyle 512(2u–1)–170 = 1024u–682\), \(\displaystyle 1024(2t)–682 = 2048t – 682\) sorszámú helyen álló számjegyek. Ez utóbbi már csak egy számjegyet jelent, az \(\displaystyle 1366\). helyen álló számjegyet, ami a \(\displaystyle 6\)-os. Tehát az utolsóként kihúzott számjegy \(\displaystyle 6\).

Statistics:

155 students sent a solution.
6 points:	83 students.
5 points:	3 students.
4 points:	9 students.
3 points:	13 students.
2 points:	4 students.
1 point:	12 students.
0 point:	20 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019