Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 638. feladat (2019. november)

K. 638. Fibonacci-szerű sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, melyekben a harmadik tagtól kezdve minden tag az őt közvetlenül megelőző két tag összege. Fibonacci-szerű sorozat pl. az 1, 1-gyel kezdődő \(\displaystyle 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots\) sorozat (ezt nevezik Fibonacci-sorozatnak), de pl. az 1, 3-mal kezdődő \(\displaystyle 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, \dots\) sorozat is. Keressük meg azt a csupa pozitív egész számból álló Fibonacci-szerű sorozatot, melynek tagja a 2010, és a 2010 előtt a lehető legtöbb tagot tartalmazza.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle k\) a sorozatban a \(\displaystyle 2010\)-et megelőző tag. Ekkor a képzési szabály szerint a \(\displaystyle k\) előtti tag \(\displaystyle 2010-k\), és tudván, hogy ez pozitív, a \(\displaystyle k < 2010\) feltételnek teljesülni kell. Foglaljuk táblázatba ennek megfelelően a korábbi tagokat, és írjuk fel annak feltételét is, hogy a megfelelő tag pozitív egész legyen!

A sorozat tagjai Feltétel
2010
\(\displaystyle k\)\(\displaystyle k > 0\)
\(\displaystyle 2010 – k > 0\) \(\displaystyle 2010 > k\)
\(\displaystyle k – (2010 – k) = 2k – 2010 >0\) \(\displaystyle k > 1005\)
\(\displaystyle 2010 – k – (2k – 2010) = 4020 – 3k > 0\) \(\displaystyle 1340 > k\)
\(\displaystyle 2k – 2010 – (4020 – 3k) = 5k – 6030 >0\) \(\displaystyle k > 1206\)
\(\displaystyle 4020 – 3k – (5k – 6030) = 10050 – 8k > 0\) \(\displaystyle 1257 > k\)
\(\displaystyle 5k – 6030 – (10050 – 8k) = 13k – 16080 > 0\) \(\displaystyle k > 1236\)
\(\displaystyle 10050 – 8k – (13k – 16080) = 26130 – 21k > 0\) \(\displaystyle 1245 > k\)
\(\displaystyle 13k – 16080 – (26130 – 21k) = 34k – 42210 > 0\) \(\displaystyle k > 1241\)
\(\displaystyle 26130 – 21k – (34k – 42210) = 68340 – 55k > 0\) \(\displaystyle 1243 > k\)

A két utolsóként kapott feltételből már csak a \(\displaystyle k=1242\) egyetlen lehetőség adódik, a sorozat tagjait visszafelé kifejtve kapjuk a \(\displaystyle 30\), \(\displaystyle 18\), \(\displaystyle 48\), \(\displaystyle 66\), \(\displaystyle 114\), \(\displaystyle 180\), \(\displaystyle 294\), \(\displaystyle 474\), \(\displaystyle 768\), \(\displaystyle 1242\), \(\displaystyle 2010\), ... sorozatot.


Statisztika:

A K. 638. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai