Problem K. 638. (November 2019)
K. 638. Fibonacci-type sequences are defined as sequences in which, from the third term onwards, each term is the sum of the preceding two terms. For example, the sequence \(\displaystyle 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots\) starting with 1, 1 (the Fibonacci sequence itself), and the sequence \(\displaystyle 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, \dots\) starting with 1, 3 are both Fibonacci-type sequences. Find the Fibonacci-type sequence that contains only positive integers, contains 2010 as a term, and has the largest possible number of terms before 2010.
(6 pont)
Deadline expired on December 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen \(\displaystyle k\) a sorozatban a \(\displaystyle 2010\)-et megelőző tag. Ekkor a képzési szabály szerint a \(\displaystyle k\) előtti tag \(\displaystyle 2010-k\), és tudván, hogy ez pozitív, a \(\displaystyle k < 2010\) feltételnek teljesülni kell. Foglaljuk táblázatba ennek megfelelően a korábbi tagokat, és írjuk fel annak feltételét is, hogy a megfelelő tag pozitív egész legyen!
| A sorozat tagjai | Feltétel |
| 2010 | |
| \(\displaystyle k\) | \(\displaystyle k > 0\) |
| \(\displaystyle 2010 – k > 0\) | \(\displaystyle 2010 > k\) |
| \(\displaystyle k – (2010 – k) = 2k – 2010 >0\) | \(\displaystyle k > 1005\) |
| \(\displaystyle 2010 – k – (2k – 2010) = 4020 – 3k > 0\) | \(\displaystyle 1340 > k\) |
| \(\displaystyle 2k – 2010 – (4020 – 3k) = 5k – 6030 >0\) | \(\displaystyle k > 1206\) |
| \(\displaystyle 4020 – 3k – (5k – 6030) = 10050 – 8k > 0\) | \(\displaystyle 1257 > k\) |
| \(\displaystyle 5k – 6030 – (10050 – 8k) = 13k – 16080 > 0\) | \(\displaystyle k > 1236\) |
| \(\displaystyle 10050 – 8k – (13k – 16080) = 26130 – 21k > 0\) | \(\displaystyle 1245 > k\) |
| \(\displaystyle 13k – 16080 – (26130 – 21k) = 34k – 42210 > 0\) | \(\displaystyle k > 1241\) |
| \(\displaystyle 26130 – 21k – (34k – 42210) = 68340 – 55k > 0\) | \(\displaystyle 1243 > k\) |
A két utolsóként kapott feltételből már csak a \(\displaystyle k=1242\) egyetlen lehetőség adódik, a sorozat tagjait visszafelé kifejtve kapjuk a \(\displaystyle 30\), \(\displaystyle 18\), \(\displaystyle 48\), \(\displaystyle 66\), \(\displaystyle 114\), \(\displaystyle 180\), \(\displaystyle 294\), \(\displaystyle 474\), \(\displaystyle 768\), \(\displaystyle 1242\), \(\displaystyle 2010\), ... sorozatot.
Statistics:
77 students sent a solution. 6 points: Besze Zsolt, Fekete Patrik, Gál Csaba, Hajós Balázs, Havasi Marcell Milán, Jakusch Tamás, Kurucz Márton, Murai Dóra Eszter, Nemeskéri Dániel, Pekk Márton, Radzik Réka, Sachs Beáta, Sipeki Márton, Szalay Tamás Soma, Van Rijs Dóra. 5 points: Bundik Brigitta, Cynolter Dorottya, Deme Erik, Gere Gábor, Héjj Anna, Jaskó Martin Csaba, Kedves Benedek János, Nagy László Zsolt, Szabó Viktória, Szakmáry-Hegyi Katalin, Szirtes Hanna, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Varga 128 Erik. 4 points: 2 students. 3 points: 15 students. 2 points: 5 students. 1 point: 7 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 9 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019