Problem K. 641. (December 2019)

K. 641. Some points are selected in the interior of a convex quadrilateral. These points are connected to each other and to the vertices of the quadrilateral with line segments such that the line segments have no intersection inside the quadrilateral, and they divide the quadrilateral into small triangles and pentagons. (Every interior point is a vertex of some triangle or quadrilateral.) Is it possible to divide the quadrilateral into exactly 2019 polygons in this way?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha összeadjuk a háromszögek és ötszögek szögeit, akkor 180 fok páros számú többszörösét kapjuk. Ez azért van, mert ez a szögösszeg a négyszög szögeinek, és egy-egy belső pontot körülvevő szögeknek az összegéből áll. Minden belső pontnál a keletkező szögek összege 360 fok, a négyszög szögeinek összege szintén, tehát a kapott összeg 360 foknak többszöröse. Ha a háromszögek és ötszögek száma összesen 2019, akkor az egyikből páros, a másikból páratlan darab van. A háromszög szögeinek összege 180 fok, az ötszög szögeinek összege \(\displaystyle 3\cdot180\) fok. Ha páros számú háromszög lett, akkor ezek szögeinek összege 180 fok páros számú többszöröse, az ötszögeké pedig páratlan, ez viszont nem lehetséges, mert ekkor az összes szög összege 180 foknak páratlan számú többszöröse. Ha páratlan számú háromszög van, akkor szintén azt kapjuk, hogy az összes szög összege 180 foknak páratlan számú többszöröse. Tehát nem lehet 2019 a kapott ötszögek és háromszögek együttes száma.

Statistics:

75 students sent a solution.
6 points:	Besze Zsolt, Deme Erik, Radzik Réka, Sipos Dorka, Slézia Dávid.
5 points:	Ágoston Barbara, Hajós Balázs, Nagy Mihály Gyula, Tóth Babett.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	53 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019