Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 642. feladat (2019. december)

K. 642. Adjuk meg az összes pozitív egész \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) számot, melyekre teljesül, hogy \(\displaystyle x^2-y^2=2019\).

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Alakítsuk szorzattá a bal oldali algebrai kifejezést! \(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). A 2019 prímtényezős felbontása \(\displaystyle 2019 = 3\cdot673\). Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív egész számok, ezért \(\displaystyle x+y\) mindenképpen pozitív, így \(\displaystyle x-y\) is az. Mivel \(\displaystyle x-y < x+y\), ezért csak az \(\displaystyle x-y=1\) és \(\displaystyle x+y=2019\), illetve az \(\displaystyle x-y=3\) és \(\displaystyle x+y=673\) értékek jöhetnek szóba. A két egyenletet összeadva, illetve a különbségüket véve kapjuk \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékét. Az első egyenletrendszerből \(\displaystyle x = 2020/2=1010\) és \(\displaystyle y = 2018/2=1009\), a második egyenletrendszerből \(\displaystyle x = 676/2=338\) és \(\displaystyle y = 670/2=335\) értéket kapjuk.


Statisztika:

A K. 642. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai