Problem K. 642. (December 2019)

K. 642. Find all positive integers \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) such that \(\displaystyle x^2-y^2=2019\).

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alakítsuk szorzattá a bal oldali algebrai kifejezést! \(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). A 2019 prímtényezős felbontása \(\displaystyle 2019 = 3\cdot673\). Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív egész számok, ezért \(\displaystyle x+y\) mindenképpen pozitív, így \(\displaystyle x-y\) is az. Mivel \(\displaystyle x-y < x+y\), ezért csak az \(\displaystyle x-y=1\) és \(\displaystyle x+y=2019\), illetve az \(\displaystyle x-y=3\) és \(\displaystyle x+y=673\) értékek jöhetnek szóba. A két egyenletet összeadva, illetve a különbségüket véve kapjuk \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékét. Az első egyenletrendszerből \(\displaystyle x = 2020/2=1010\) és \(\displaystyle y = 2018/2=1009\), a második egyenletrendszerből \(\displaystyle x = 676/2=338\) és \(\displaystyle y = 670/2=335\) értéket kapjuk.

Statistics:

163 students sent a solution.
6 points:	Bánfi Barnabás, Deák Botond, Deme Erik, Fazekas István, Fodor Ágoston, Hajdu Erik, Hajós Balázs, Havasi Marcell Milán, Herendi Réka, Kedves Benedek János, Mészáros Anna Veronika, Murai Dóra Eszter, Németi Niké, Pekk Márton, Radzik Réka, Richolm Lili, Slézia Dávid.
5 points:	88 students.
4 points:	21 students.
3 points:	13 students.
2 points:	9 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	11 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019