Problem K. 643. (December 2019)

K. 643. In the fraction \(\displaystyle \frac{a6bc}{de3fg}\) each digit, except 0, occurs exactly once. What may each letter denote if the value of the fraction is \(\displaystyle \frac12\)?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a tört értéke \(\displaystyle 1/2\), ezért \(\displaystyle a6bc \cdot 2 = de3fg\). A \(\displaystyle d\) csak \(\displaystyle 1\) lehet, mert \(\displaystyle a6bc\) legnagyobb értéke \(\displaystyle 9687\) lehet, amelynek kétszerese még nem éri el a \(\displaystyle 20\,000\)-et. Ahhoz pedig, hogy ez a kétszeres érték \(\displaystyle 10\,000\)-nél nagyobb legyen, \(\displaystyle a > 4\) szükséges (hiszen \(\displaystyle 2\cdot4698<10\,000\)). A szorzás elvégzésekor a szorzatban található \(\displaystyle 3\)-as a \(\displaystyle 6 \cdot 2\)-ből származik, tehát előtte volt átvitel (azaz \(\displaystyle f > 4\)), valamint \(\displaystyle 2a + 1 = 10d + e\), mert a \(\displaystyle 6 \cdot 2 = 12\) miatt a \(\displaystyle 2a\) szorzásnál is volt átvitel (\(\displaystyle 1\)). Emiatt \(\displaystyle a\) nem lehet \(\displaystyle 5\), mert akkor \(\displaystyle e = d = 1\) lenne, és az már foglalt; és \(\displaystyle a = 9\) sem lehet, mert akkor \(\displaystyle e = a = 9\) lenne. Mivel a \(\displaystyle 6\) is foglalat, ezért \(\displaystyle a = 7\) vagy \(\displaystyle a = 8\).

Nézzük még meg az utolsó számjegyeket: \(\displaystyle c\) nem lehet \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\), mert ezek már foglaltak, és nyilván nem \(\displaystyle 5\) (mert \(\displaystyle 0\) nincs a számok között). \(\displaystyle c = 8\) sem lehet, mert a \(\displaystyle g\) nem lehet \(\displaystyle 6\), ezért csak \(\displaystyle c = 2\), \(\displaystyle g = 4\); \(\displaystyle c = 4\), \(\displaystyle g = 8\); \(\displaystyle c = 7\), \(\displaystyle g = 4\), és a \(\displaystyle c = 9\), \(\displaystyle g = 8\) párosok jöhetnek számításba.

Ha \(\displaystyle a = 8\), akkor \(\displaystyle e = 7\), valamint \(\displaystyle c = 2\), \(\displaystyle g = 4\), de ekkor \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle f\)-re az \(\displaystyle 5\) és a \(\displaystyle 9\) marad, ami nem lehet.

Ha \(\displaystyle a = 7\), akkor \(\displaystyle e = 5\).

Ebben az esetben a \(\displaystyle c = 2\), \(\displaystyle g = 4\), \(\displaystyle b = 9\), \(\displaystyle f = 8\) jó megoldást ad: \(\displaystyle \frac{7692}{15384}=\frac12\).

Ha \(\displaystyle c = 4\), \(\displaystyle g = 8\), akkor \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle f\)-re a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 9\) marad, ami nem ad megoldást.

Ha \(\displaystyle c = 9\), \(\displaystyle g = 8\), akkor \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle f\)-re a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 4\) marad, ami nem lehet.

Statistics:

119 students sent a solution.
6 points:	57 students.
5 points:	8 students.
4 points:	9 students.
3 points:	12 students.
2 points:	12 students.
1 point:	10 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019