Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 645. feladat (2020. január)

K. 645. Milyen maradékot kapunk, ha az \(\displaystyle 1+4+7+\ldots+2020\) összeget 8-cal elosztjuk?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az összegben szereplő tagok darabszámát határozzuk meg először. Minden szám \(\displaystyle 3k-2\) alakú, ahol \(\displaystyle k\)=1, 2, 3, 4, ..., 674, tehát 674 darab számot adunk össze. Egy összeg 8-cal való osztásának maradékát megkaphatjuk úgy, hogy az összegben szereplő tagokból leválasztjuk a 8-cal osztható részt, és csak a maradékokat adjuk össze, és ennek az összegnek vizsgáljuk a 8-as maradékát.

Az 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, stb. számok rendre 1, 4, 7, 2, 5, 0, 3, 6; 1, 4, ... maradékot adnak 8-cal osztva. Megfigyelhető, hogy az első 8 szám ismétlődik ebben a sorozatban. Ezek összege 28, ami 8-cal osztva 4-et ad maradékul. Tehát ha két ilyen 8-as sorozatot írunk egymás után, és az így kapott 16 szám ismétlődését vizsgáljuk, akkor ezek összege 8-cal osztható. 374 : 16 = 23, maradék 6, tehát a 16-os csoportokon felül még 6 számot kell figyelembe vennünk. A hat maradék: 1+4+7+2+5+0 = 19, ami 8-cal osztva 3-at ad maradékul.

Tehát a vizsgált összeg 8-cal osztva 3-at ad maradékul.


Statisztika:

A K. 645. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. januári matematika feladatai