Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 652. feladat (2020. február)

K. 652. Egy dobozban sárga, kék és piros golyók vannak, mindegyikből 10-10 darab. Hányféleképpen oszthatjuk szét ezeket egy 10-es és egy 20-as csoportra úgy, hogy mindkét csoportban mindegyik színű golyóból legyen legalább egy? (Az azonos színű golyókat nem tudjuk egymástól megkülönböztetni.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Mivel a 10-es csoportba így egyik golyóból sem választunk 10 darabot, így 20-as csoportban biztosan lesz minden színből legalább egy darab. A 10 kiválasztott golyó között szerepel mindegyik színből 1-1, ezért ezeket félretehetjük. Maradt minden színből 9 golyónk, és közülük 7-et kell kiválasztanunk, de ez már mind lehet akár azonos színű is. Három alapesetet kell megkülönböztetnünk.

I. A 7 kiválasztott golyó egyféle színű. Ez nyilván három lehetőséget jelent.

II. A 7 kiválasztott golyó kétféle színű. Az 7 golyó 1-6, 2-5, 3-4 elosztásban lehet a kétféle színből. Egy-egy elosztást hatféleképpen rendelhetünk össze a színekkel (az egyik darabszámú golyó háromféle színű lehet, a másik pedig kétféle színű). Ez tehát összesen \(\displaystyle 3\cdot6=18\) lehetőséget ad.

III. A 7 golyó között is szerepel mindhárom szín. Ekkor ismét megtehetjük, hogy félreteszünk egy-egy golyót, és már csak 4-et kell kiválasztanunk, megint csak nem figyelve a színekre.

a) Mind a 4 golyó ugyanolyan színű: 3 lehetőség.

b) A 4 golyó kétféle színű: 1-3 vagy 2-2 elosztásban. Az előbbi hatféle színkiosztást kaphat, az utóbbi csak háromfélét (háromféle lehet a kimaradó szín). Tehát ez összesen 9 lehetőséget jelent.

c) A 4 golyó közt mindhárom szín szerepel, és az egyikből kettő is van. Ez 3 lehetőséget ad.

Tehát az összes lehetőségek száma: \(\displaystyle 3+18+3+9+3=36\).


Statisztika:

A K. 652. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári matematika feladatai