Problem K. 652. (February 2020)

K. 652. A box contains yellow, blue and red balls, 10 of each colour. In how many different ways is it possible to divide the balls into a group of 10 and a group of 20 such that each group should contain at least one of each colour? (Balls of the same colour cannot be distinguished.)

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a 10-es csoportba így egyik golyóból sem választunk 10 darabot, így 20-as csoportban biztosan lesz minden színből legalább egy darab. A 10 kiválasztott golyó között szerepel mindegyik színből 1-1, ezért ezeket félretehetjük. Maradt minden színből 9 golyónk, és közülük 7-et kell kiválasztanunk, de ez már mind lehet akár azonos színű is. Három alapesetet kell megkülönböztetnünk.

I. A 7 kiválasztott golyó egyféle színű. Ez nyilván három lehetőséget jelent.

II. A 7 kiválasztott golyó kétféle színű. Az 7 golyó 1-6, 2-5, 3-4 elosztásban lehet a kétféle színből. Egy-egy elosztást hatféleképpen rendelhetünk össze a színekkel (az egyik darabszámú golyó háromféle színű lehet, a másik pedig kétféle színű). Ez tehát összesen \(\displaystyle 3\cdot6=18\) lehetőséget ad.

III. A 7 golyó között is szerepel mindhárom szín. Ekkor ismét megtehetjük, hogy félreteszünk egy-egy golyót, és már csak 4-et kell kiválasztanunk, megint csak nem figyelve a színekre.

a) Mind a 4 golyó ugyanolyan színű: 3 lehetőség.

b) A 4 golyó kétféle színű: 1-3 vagy 2-2 elosztásban. Az előbbi hatféle színkiosztást kaphat, az utóbbi csak háromfélét (háromféle lehet a kimaradó szín). Tehát ez összesen 9 lehetőséget jelent.

c) A 4 golyó közt mindhárom szín szerepel, és az egyikből kettő is van. Ez 3 lehetőséget ad.

Tehát az összes lehetőségek száma: \(\displaystyle 3+18+3+9+3=36\).

Statistics:

104 students sent a solution.
6 points:	Ágoston Barbara, Árok Anna, Atanaszov Hedvig, Bagladi Milán Zsolt, Bálint Béla, Besze Zsolt, Biborka Dániel, Borján Gergő, Cseresznye Zalán, Cziráki Boglárka, Deák Gergely, Deme Erik, Ferencz Mátyás, Gál Csaba, Hajós Balázs, Hangodi Hajnalka, Hartmann Botond, Héjj Anna, Herendi Réka, Jakusch Tamás, Kaltenecker Balázs Bence, Képiró Árpád Zsolt, Komm Sára, Kurucz Márton, Lovas Kiara, Morvai Eliza, Nagy László Zsolt, Nagy Sára Agáta, Pekk Márton, Pulics Martin, Radzik Réka, Sachs Beáta, Schleier Anna , Sipeki Márton, Somlai Dóra, Szedlák Balázs, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Varga 128 Erik, Varga Domonkos Márk, Viczián Dániel, Waldhauser Miklós.
5 points:	23 students.
4 points:	8 students.
3 points:	7 students.
2 points:	4 students.
1 point:	8 students.
0 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020