Problem K. 653. (February 2020)

K. 653. We know that \(\displaystyle \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=b\) and \(\displaystyle a, b > 1\) are integers. Find the minimum value of \(\displaystyle a+b\).

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Háromszor négyzetre emelve mindkét oldalt:

\(\displaystyle \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=b,\)

\(\displaystyle a\sqrt{a\sqrt{a}}=b^2,\)

\(\displaystyle a^2a\sqrt a=b^4,\)

\(\displaystyle a^6a=b^8,\)

\(\displaystyle a^7=b^8.\)

Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészek, ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle a=c^8\) és \(\displaystyle b=c^7\), ahol \(\displaystyle c\) valamilyen egész szám. (Ekkor \(\displaystyle a^7=b^8=c^{7\cdot8}=c^{56}\).) Mivel a lehető legkisebb összeget keressük, \(\displaystyle c=2\) és ekkor \(\displaystyle a = 2^8\) és \(\displaystyle b = 2^7\). Így \(\displaystyle a + b = 256 + 128 = 384\).

Statistics:

109 students sent a solution.
6 points:	Árok Anna, Atanaszov Hedvig, Besze Zsolt, Csáki Borbála, Cynolter Dorottya, Deme Erik, Dévényi Róbert , Fehér Anna, Fekete Patrik, Ferencz Mátyás, Gardev Dániel, Hajós Balázs, Hangodi Hajnalka, Hartmann Botond, Havasi Marcell Milán, Herendi Réka, Holyba Gergő, Kaltenecker Balázs Bence, Karádi Virág, Kedves Benedek János, Képiró Árpád Zsolt, Kiss-Beck Tamara, Kmeczó András, Kurucz Márton, Mészáros Anna Veronika, Morvai Eliza, Murai Dóra Eszter, Murár András , Nagy 999 Csanád, Nagy Flóra, Nagy Mihály Gyula, Ökördi Laura, Purgel Márton, Radzik Réka, Sallai Péter, Schleier Anna , Sipeki Márton, Somlai Dóra, Szabó Viktória, Szedlák Balázs, Szirtes Hanna, Takács Emese Flóra, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Vaszilievits-Sömjén Villő, Viczián Dániel, Visontai Barnabás Péter, Waldhauser Miklós, Welther Károly.
5 points:	17 students.
4 points:	10 students.
3 points:	2 students.
2 points:	6 students.
1 point:	10 students.
0 point:	11 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020