Problem K. 655. (March 2020)

K. 655. The four-digit numbers \(\displaystyle \overline{ABCD}\), \(\displaystyle \overline{BCBA}\), \(\displaystyle \overline{BDAB}\) and \(\displaystyle \overline{DDAD}\) are distinct four-digit primes (different letters denote different digits). Which numbers are they? You can use website http://matek.com/szamok/primszamok to check if a particular four-digit number is a prime number.

(6 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) a számok végén is szerepelnek, ezért \(\displaystyle 5\)-től különböző páratlan számjegyek. A három számjegy között a \(\displaystyle 3\) vagy a \(\displaystyle 9\) mindenképpen szerepel, különben a fenti három számjegy csak kétféle értéket vehetne fel. Ha \(\displaystyle B = 1\), akkor \(\displaystyle \overline{BDAB}\) számjegyeinek összege nem lehet \(\displaystyle 1+1+7+3\) és \(\displaystyle 1+1+7+9\) sem (mert akkor \(\displaystyle 3\)-mal osztható lenne), így ha \(\displaystyle B = 1\), akkor \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) a \(\displaystyle 3\) és a \(\displaystyle 9\) valamilyen sorrendben, de ekkor \(\displaystyle \overline{DDAD}\) számjegyeinek összege \(\displaystyle 3\)-mal osztható lenne, így \(\displaystyle B = 1\) nem lehetséges. Hasonló a helyzet \(\displaystyle B = 7\) esetén, ekkor \(\displaystyle \overline{BDAB}\) számjegyeinek összege nem lehet \(\displaystyle 7+7+1+3\) és \(\displaystyle 7+7+1+9\) sem (mert akkor \(\displaystyle 3\)-mal osztható lenne), így ha \(\displaystyle B = 7\), akkor \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) a \(\displaystyle 3\) és a \(\displaystyle 9\) valamilyen sorrendben, és ugyanazt az ellentmondást kapjuk mint az előbb.

Tehát \(\displaystyle B\) értéke 3 vagy 9 lehet, \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) pedig 1 vagy 7, illetve 3 és 9 közül a maradék. A \(\displaystyle \overline{BDAB}\) értéke tehát \(\displaystyle 3193\), \(\displaystyle 3173\), \(\displaystyle 3913\), \(\displaystyle 3973\), \(\displaystyle 3713\), \(\displaystyle 3793\), \(\displaystyle 9139\), \(\displaystyle 9179\), \(\displaystyle 9319\), \(\displaystyle 9379\), \(\displaystyle 9719\) vagy \(\displaystyle 9739\) lehet. Ezek közül a pirossal jelöltek prímek. Erre a négy számra \(\displaystyle \overline{DDAD}\) rendre \(\displaystyle 7797\), \(\displaystyle 3313\), \(\displaystyle 7717\) és \(\displaystyle 7737\), melyek közül a középső kettő prím.

Ha \(\displaystyle \overline{BDAB}=9319\), akkor a szóba jövő \(\displaystyle \overline{ABCD}\) számok közül csak az \(\displaystyle 1973\) prím. Ekkor \(\displaystyle \overline{BCBA}=9791\) is prím.

Ha \(\displaystyle \overline{BDAB}=9719\), akkor a szóba jövő \(\displaystyle \overline{ABCD}\) számok közül csak az \(\displaystyle 1907\) prím. Ekkor \(\displaystyle \overline{BCBA}=9091\) is prím.

Tehát két megoldás van: \(\displaystyle A=1, B=9, C=7, D=3\) és \(\displaystyle A=1, B=9, C=0, D=7\).

Statistics:

97 students sent a solution.
6 points:	Ágoston Barbara, Atanaszov Hedvig, Besze Zsolt, Borján Gergő, Cynolter Dorottya, Cziráki Boglárka, Deák Gergely, Deme Erik, Fekete Patrik, Ferencz Mátyás, Gardev Dániel, Hajós Balázs, Hangodi Hajnalka, Héjj Anna, Jakusch Tamás, Jaskó Martin Csaba, Kalina Rozi, Karádi Virág, Képiró Árpád Zsolt, Kiss-Beck Tamara, Komm Sára, Kurucz Márton, Lovas Kiara, Morvai Eliza, Nagy László Zsolt, Ökördi Laura, Pálfi Fruzsina Karina, Pekk Márton, Schleier Anna , Sipeki Márton, Sipos Dorka, Somlai Dóra, Szabó Viktória, Szalay Tamás Soma, Szirtes Berta , Szirtes Hanna, Van Rijs Dóra, Van Rijs Luca, Vaszilievits-Sömjén Villő, Viczián Dániel, Waldhauser Miklós, Welther Károly, Zupkó Bence Kristóf.
5 points:	Abonyi Bence, Árok Anna, Hartmann Botond, Kmeczó András, Kormányos Kristóf, Nagy 999 Csanád, Sachs Beáta.
4 points:	21 students.
3 points:	14 students.
2 points:	9 students.
1 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2020