Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 657. feladat (2020. március)

K. 657. Adjuk meg \(\displaystyle 1\)–\(\displaystyle 10\,000\)-ig a \(\displaystyle 99\) összes olyan többszörösét, amely számjegyeinek összege nem osztható \(\displaystyle 18\)-cal.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle \overline{abcd}\) \(\displaystyle 10000\)-nél kisebb négyjegyű számot, amely \(\displaystyle 99\)-nek többszöröse, és számjegyeinek összege nem osztható \(\displaystyle 18\)-cal. Mivel \(\displaystyle \overline{abcd}\) \(\displaystyle 9\)-cel osztható, ezért a számjegyek összege \(\displaystyle 9\) vagy \(\displaystyle 27\) lehet. Mivel \(\displaystyle \overline{abcd}\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel is, ezért a \(\displaystyle 11\)-es oszthatósági szabály szerint \(\displaystyle a-b+c-d\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, azaz \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle -11\) (a \(\displaystyle 22\) és a \(\displaystyle -22\) már nem elérhetők). Összesen tehát 6 esetet kell megvizsgálnunk.
I. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=27\) és \(\displaystyle a-b+c-d=11\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=38\), ami nem lehetséges (legfeljebb \(\displaystyle 36\) lehetne).
II. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=27\) és \(\displaystyle a-b+c-d=0\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=27\), ami nem lehetséges (mert \(\displaystyle 27\) nem páros).
III. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=27\) és \(\displaystyle a-b+c-d=-11\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=16\), ahonnan \(\displaystyle a+c=8\), de ekkor \(\displaystyle b+d=19\), ami nem lehetséges (legfeljebb 18 lehetne).
IV. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=9\) és \(\displaystyle a-b+c-d=11\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=20\), ahonnan \(\displaystyle a+c=10\), de ekkor \(\displaystyle b+d=-1\), ami nem lehetséges.
V. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=9\) és \(\displaystyle a-b+c-d=0\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=9\), ami nem lehetséges (mert \(\displaystyle 9\) nem páros).
VI. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=9\) és \(\displaystyle a-b+c-d=-11\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=-2\), ami nem lehetséges.

Tehát a \(\displaystyle 99\) összes többszörösének \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 10000\) között \(\displaystyle 18\) vagy \(\displaystyle 36\) a számjegyösszege, így egyszer sem fordul elő, hogy \(\displaystyle 18\)-cal nem osztható. (Megjegyzés: A legkisebb olyan többszörös, amelynél ez nem teljesül, a \(\displaystyle 111\cdot99=10989\).)


Statisztika:

A K. 657. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai