Problem K. 657. (March 2020)

K. 657. Find all multiples of 99 from 1 to \(\displaystyle 10\,000\) in which the sum of the digits is not divisible by 18.

(6 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle \overline{abcd}\) \(\displaystyle 10000\)-nél kisebb négyjegyű számot, amely \(\displaystyle 99\)-nek többszöröse, és számjegyeinek összege nem osztható \(\displaystyle 18\)-cal. Mivel \(\displaystyle \overline{abcd}\) \(\displaystyle 9\)-cel osztható, ezért a számjegyek összege \(\displaystyle 9\) vagy \(\displaystyle 27\) lehet. Mivel \(\displaystyle \overline{abcd}\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel is, ezért a \(\displaystyle 11\)-es oszthatósági szabály szerint \(\displaystyle a-b+c-d\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, azaz \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle -11\) (a \(\displaystyle 22\) és a \(\displaystyle -22\) már nem elérhetők). Összesen tehát 6 esetet kell megvizsgálnunk.
I. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=27\) és \(\displaystyle a-b+c-d=11\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=38\), ami nem lehetséges (legfeljebb \(\displaystyle 36\) lehetne).
II. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=27\) és \(\displaystyle a-b+c-d=0\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=27\), ami nem lehetséges (mert \(\displaystyle 27\) nem páros).
III. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=27\) és \(\displaystyle a-b+c-d=-11\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=16\), ahonnan \(\displaystyle a+c=8\), de ekkor \(\displaystyle b+d=19\), ami nem lehetséges (legfeljebb 18 lehetne).
IV. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=9\) és \(\displaystyle a-b+c-d=11\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=20\), ahonnan \(\displaystyle a+c=10\), de ekkor \(\displaystyle b+d=-1\), ami nem lehetséges.
V. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=9\) és \(\displaystyle a-b+c-d=0\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=9\), ami nem lehetséges (mert \(\displaystyle 9\) nem páros).
VI. eset: \(\displaystyle a+b+c+d=9\) és \(\displaystyle a-b+c-d=-11\). Ekkor a két egyenlet megfelelő oldalainak összegéből \(\displaystyle 2a+2c=-2\), ami nem lehetséges.

Tehát a \(\displaystyle 99\) összes többszörösének \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 10000\) között \(\displaystyle 18\) vagy \(\displaystyle 36\) a számjegyösszege, így egyszer sem fordul elő, hogy \(\displaystyle 18\)-cal nem osztható. (Megjegyzés: A legkisebb olyan többszörös, amelynél ez nem teljesül, a \(\displaystyle 111\cdot99=10989\).)

Statistics:

91 students sent a solution.
6 points:	Abonyi Bence, Ágoston Barbara, Atanaszov Hedvig, Besze Zsolt, Csáki Borbála, Deák Gergely, Deme Erik, Dévényi Róbert , Farkas Bence , Fazekas István, Ferencz Mátyás, Gál Csaba, Gardev Dániel, Hajós Balázs, Jakusch Tamás, Jaskó Martin Csaba, Jójárt Emese, Kaltenecker Balázs Bence, Képiró Árpád Zsolt, Kmeczó András, Lovas Kiara, Mészáros Anna Veronika, Murai Dóra Eszter, Nagy Gábor János, Nagy László Zsolt, Pálfi Fruzsina Karina, Pekk Márton, Radzik Réka, Sachs Beáta, Sallai Péter, Schleier Anna , Sipeki Márton, Somlai Dóra, Szabó Viktória, Szirtes Hanna, Viczián Dániel, Waldhauser Miklós.
4 points:	11 students.
3 points:	3 students.
2 points:	12 students.
1 point:	11 students.
0 point:	17 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2020