Problem K. 659. (September 2020)
K. 659. How many different quadrilaterals are there whose vertices are selected from the vertices of a regular nonagon so that the quadrilateral contains the centre of the nonagon in its interior? (Congruent quadrilaterals are not considered different.)
(6 pont)
Deadline expired on October 12, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A négyszögnek van két olyan szomszédos csúcsa, melyek legalább harmadszomszédosak (legalább két csúcs van közöttük), mert ha legfeljebb másodszomszédos csúcsok lennének, akkor az eredeti sokszögnek legfeljebb nyolc csúcsa lehetne, de kilenc van.
Mivel a négyszög tartalmazza a kilencszög középpontját, így (egyik) leghosszabb oldala két olyan csúcsot köt össze, melyek „negyedszomszédos” csúcsok (három csúcs van közöttük a kilencszög kerületén), vagy harmadszomszédos csúcsok. (Másodszomszédosak nem lehetnek, mert \(\displaystyle 4\cdot2<9\).)
Ha van két negyedszomszédos csúcs, akkor a következő lehetőségek adódnak (rögzítve a negyedszomszédos csúcsokat):
Ezek közül az 1. és a 6. illetve a 2. és az 5. egybevágók.
Ha nincs negyedszomszédos csúcs, akkor van harmadszomszédos. A fent megtalált eseteket nem tekintve a következő lehetőségek maradnak (rögzítve a harmadszomszédos csúcsokat):
Itt az 1. és a 3. eset egybevágó egymással.
Összesen 4+3=7 különböző ilyen négyszög van.
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020