Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 659. (September 2020)

K. 659. How many different quadrilaterals are there whose vertices are selected from the vertices of a regular nonagon so that the quadrilateral contains the centre of the nonagon in its interior? (Congruent quadrilaterals are not considered different.)

(6 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A négyszögnek van két olyan szomszédos csúcsa, melyek legalább harmadszomszédosak (legalább két csúcs van közöttük), mert ha legfeljebb másodszomszédos csúcsok lennének, akkor az eredeti sokszögnek legfeljebb nyolc csúcsa lehetne, de kilenc van.

Mivel a négyszög tartalmazza a kilencszög középpontját, így (egyik) leghosszabb oldala két olyan csúcsot köt össze, melyek „negyedszomszédos” csúcsok (három csúcs van közöttük a kilencszög kerületén), vagy harmadszomszédos csúcsok. (Másodszomszédosak nem lehetnek, mert \(\displaystyle 4\cdot2<9\).)

Ha van két negyedszomszédos csúcs, akkor a következő lehetőségek adódnak (rögzítve a negyedszomszédos csúcsokat):

Ezek közül az 1. és a 6. illetve a 2. és az 5. egybevágók.

Ha nincs negyedszomszédos csúcs, akkor van harmadszomszédos. A fent megtalált eseteket nem tekintve a következő lehetőségek maradnak (rögzítve a harmadszomszédos csúcsokat):

Itt az 1. és a 3. eset egybevágó egymással.

Összesen 4+3=7 különböző ilyen négyszög van.


Statistics:

129 students sent a solution.
6 points:Árvai Benedek, Bacsek Emma Borbála, Baksa Anna, Barczikay Eszter, Barta Veronika, Bartus Nikolett, Bodzay Barnabás, Buday Noémi, Dancsák Dénes, Ecsédi Dániel, Érdi Ferenc Vince, Farkas Zsófia, Gaspari Márton Samu, Görcsös Ákos Attila, Görgényi András Levente, Gulyás Janka, Heim Flóra, Horváth 204 Lóránt , Illés Bence, Jármai Roland, Jenei Ákos Zoltán, Kéki Edit, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kovács Levente, Kuba Nikoletta, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Markovics Áron, Mayer Krisztián, Mihalik Sára, Mód Péter Tamás, Molnár Kristóf, Őszi Nóra, Simon Géza, Szalai András Dominik, Szeibert Dominik, Takács Janka, Tarján Bernát, Telkes Ágota, Töreczki Gábor, Vanyó Gréta, Várhegyi Hajnal Eszter.
5 points:Bánrévi Nóra, Bodnár Botond, Duan Jiayi, Hanuska Gergely Zsolt, Lajos Luca, Roppantó Dorka, Tatár Bálint.
4 points:10 students.
3 points:5 students.
2 points:12 students.
1 point:4 students.
0 point:48 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020