Problem K. 660. (September 2020)

K. 660. The squares in the figure were filled in with the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, and then the sum of the numbers in the two adjacent squares was entered in each circle. Finally, the numbers in a few circles were deleted, and the squares were shaded.

\(\displaystyle a)\) Which numbers are missing from the blank circles?

\(\displaystyle b)\) Enter the original number in each square.

(6 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A felső sorban a jobb oldali üres körben 9-es van, mert ha a jobb felső négy négyzet közé a körökbe írt számokat tekintjük, akkor a szemköztiek összege egyenlő kell, hogy legyen, hiszen \(\displaystyle (a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)\).

Hasonlóképpen a jobb oldali oszlop üres körébe \(\displaystyle 12+9-11=10\) kerül, a középső sor üres körébe \(\displaystyle 10+11-8=13\), illetve a felső sor üres körébe pedig \(\displaystyle 9+10-13=6\). Tehát a kiradírozott számok sorban (balról jobbra, fentről lefelé): 6, 9, 13, 10.

\(\displaystyle b)\) A 6 kétféleképpen áll elő két különböző pozitív egész szám összegeként (\(\displaystyle 1+5\), \(\displaystyle 2+4\)), mindkét esetben kétféle sorrendben lehet beírni a számokat.

Ha 1-5-öt írunk be, akkor a felső sor (balról jobbra, ezután is mindig): 1, 5, 4 a középső sor: 8, 5, 7, ami nem lehet, mert így két 5-ös lenne.

Ha 5-1-et írunk be, akkor a felső sor: 5, 1, 8 a középső sor: 4, 9, 3, az alsó sor pedig: 6, 2, 7, ami megfelelő kitöltés.

Ha 2-4-et írunk be, akkor a felső sor: 2, 4, 5, a középső sor: 7, 6, 6, ami nem jó, mert két 6-os nem lehet.

Ha 4-2-t írunk be, akkor a felső sor 4, 2, 7, a középső sor: 5, 8, 4, az alsó sor pedig 5, 3, 6, ami nem megfelelő, mert két 5-ös van benne.

Tehát egy lehetséges kitöltés van: a felső sor: 5, 1, 8 a középső sor: 4, 9, 3, az alsó sor pedig: 6, 2, 7.

Statistics:

218 students sent a solution.
6 points:	79 students.
5 points:	25 students.
4 points:	17 students.
3 points:	18 students.
2 points:	54 students.
1 point:	14 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	11 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020