Problem K. 662. (September 2020)

K. 662. The first four terms of a sequence are all 1. From the fifth term onwards, each term is obtained by adding the two terms that are four positions and three positions back from that term. How many even numbers are there among the first 150 terms of the sequence?

(6 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vizsgáljuk meg sorozatot, és nézzük meg, honnantól kezdve ismétlődik valami minta (a páratlan számokat vastagon írtuk):

\(\displaystyle {\bf 1, 1, 1, 1}, 2, 2, 2, {\bf 3}, 4, 4, {\bf 5, 7}, 8, {\bf 9}, 12 | {\bf 15, 17, 21, 27}, 32, 38, 48, {\bf 59}, 70, 86, {\bf 107}, ...\) Az első 4 szám páratlan, majd a 16.-tól újra 4 páratlan kerül egymás mellé, és ez a 15 hosszú minta ismétlődik. A 15 számból 7 páros, így 10 ilyen 15-ös sorozatban, azaz az első 150 számban \(\displaystyle 10\cdot7=70\) páros van.

Statistics:

175 students sent a solution.
6 points:	120 students.
5 points:	11 students.
4 points:	9 students.
3 points:	4 students.
2 points:	10 students.
1 point:	10 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020