Problem K. 664. (October 2020)

K. 664. We have six coins, four of which weigh 100 grams each, and the remaining two weigh 99 grams each. With the help of an equal-arm balance and no weights, what is the minimum number of measurements that are sufficient to identify one of the lighter coins?

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Két mérés elegendő. Mérjünk meg két-két érmét! (Jelölje a mért érméket A, B és C, D).

Ha lebillen és pl. AB a könnyebb oldal, akkor egy vagy két könnyebb érme van ott, és C, illetve D biztosan 100 grammos. Mérjük meg A-t C-vel. Ebből a mérésből kiderül, hogy A könnyebb-e, ha igen, kész vagyunk, A megfelelő, ha nem, akkor pedig B-t kerestük.

Ha nem billen le, az kétféleképpen lehetséges: mindkét serpenyőben van egy-egy 99 grammos érme, vagy négy darab 100 grammos érme van a mérlegen. Tehát E és F azonos súlyú. Mérjük meg A-t E-vel!

Ha egyensúlyban van, akkor csak az lehetséges, hogy E 100 grammos és így A is az, és B az egyik könnyebb érme.
Ha lebillen, és A a könnyebb, akkor A-t kerestük.
Ha lebillen, és E a könnyebb, akkor E-t kerestük.

Ennél kevesebb, tehát egy méréssel nem lehet megtudni biztosan, melyik az egyik 99 grammos érme. Nyilván csak olyan mérésnek van értelme, amelyben a két serpenyőbe azonos darab érmét teszünk.

Ha egy-egy érmét teszünk fel és egyensúlyban van, akkor nem derül ki: lehet mindkettő 99 grammos, de akár mindkettő 100 grammos is.

Ha két-két érmét teszünk fel és egyensúlyban van, akkor sem derül ki. Lehet mind a négy 100 grammos, de az is lehet, hogy mindkét oldalon van egy-egy 99 grammos, de, hogy melyik az, azt nem fogjuk tudni.

Ha három-három érmét teszünk fel és egyensúlyban van (vagy lebillen), akkor sem derül ki, melyik a 99 grammos. Lehet bármelyik, amelyik a nem nehezebb oldalon van.

Tehát legalább két mérésre van szükségünk ahhoz, hogy megtaláljuk az egyik könnyebb érmét.

Statistics:

172 students sent a solution.
6 points:	102 students.
5 points:	11 students.
4 points:	6 students.
3 points:	4 students.
2 points:	12 students.
1 point:	18 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020