A K. 666. feladat (2020. október)

K. 666. Hány olyan hatjegyű szám van a 182 többszörösei között, melyben az első három számjegyből álló háromjegyű szám megegyezik az utolsó három számjegyből álló háromjegyű számmal?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hatjegyű számot \(\displaystyle \overline{abcabc}\) alakban keressük. A feladat szövege szerint:

\(\displaystyle \overline{abcabc}=182\cdot n~\textrm{(ahol \(\displaystyle n\) egész szám)}.\)

\(\displaystyle \overline{abc}\cdot1001=182\cdot n,\)

\(\displaystyle \overline{abc}\cdot7\cdot11\cdot13=2\cdot7\cdot13\cdot n,\)

\(\displaystyle \overline{abc}\cdot11=2n.\)

Mivel \(\displaystyle 2n\) páros szám, így \(\displaystyle \overline{abc}\) is páros szám. \(\displaystyle \overline{abc}\) legkisebb értéke \(\displaystyle 100\) (ekkor \(\displaystyle n = 550\)). Legnagyobb értéke \(\displaystyle 998\) lehet (ekkor \(\displaystyle n = 5489\)). A legkisebb ilyen hatjegyű szám a \(\displaystyle 100\,100\), a legnagyobb ilyen hatjegyű szám a \(\displaystyle 998\,998\) és összesen \(\displaystyle \frac{998-100}{2}+1=450\) megfelelő szám van.

Statisztika:

158 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	76 versenyző.
5 pontot kapott:	21 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai