Problem K. 666. (October 2020)

K. 666. How many six-digit multiples of 182 are there in which the three-digit number formed by the first three digits is equal to the three-digit number formed by the last three digits?

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hatjegyű számot \(\displaystyle \overline{abcabc}\) alakban keressük. A feladat szövege szerint:

\(\displaystyle \overline{abcabc}=182\cdot n~\textrm{(ahol \(\displaystyle n\) egész szám)}.\)

\(\displaystyle \overline{abc}\cdot1001=182\cdot n,\)

\(\displaystyle \overline{abc}\cdot7\cdot11\cdot13=2\cdot7\cdot13\cdot n,\)

\(\displaystyle \overline{abc}\cdot11=2n.\)

Mivel \(\displaystyle 2n\) páros szám, így \(\displaystyle \overline{abc}\) is páros szám. \(\displaystyle \overline{abc}\) legkisebb értéke \(\displaystyle 100\) (ekkor \(\displaystyle n = 550\)). Legnagyobb értéke \(\displaystyle 998\) lehet (ekkor \(\displaystyle n = 5489\)). A legkisebb ilyen hatjegyű szám a \(\displaystyle 100\,100\), a legnagyobb ilyen hatjegyű szám a \(\displaystyle 998\,998\) és összesen \(\displaystyle \frac{998-100}{2}+1=450\) megfelelő szám van.

Statistics:

158 students sent a solution.
6 points:	76 students.
5 points:	21 students.
4 points:	9 students.
3 points:	8 students.
2 points:	9 students.
1 point:	17 students.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020