A K. 668. feladat (2020. október)

K. 668. \(\displaystyle a)\) Hány olyan egyenlőszárú háromszög van, amelynek szárai 13 cm-esek és a területe 60 cm\(\displaystyle {}^2\)?

\(\displaystyle b)\) Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek befogói páros egész számok, és területe 60 cm\(\displaystyle {}^2\)?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Két egybevágó derékszögű háromszögre bonthatjuk az egyenlőszárú háromszöget. Ezek átfogója 13 cm, átfogóhoz tartozó magassága \(\displaystyle m=60/13\) cm. Ilyen háromszög csak egyféle van, viszont mindkét befogónál összeilleszthető belőle kettő. Így kétféle, a feltételeknek megfelelő egyenlőszárú háromszöget kaphatunk.

b) A derékszögű háromszög területének kétszerese a befogók szorzata. Mivel a terület \(\displaystyle 60~\textrm{cm}^2\), ezért a befogók szorzata 120. Páros számok szorzatára a 120-at \(\displaystyle 2\cdot60\), \(\displaystyle 4\cdot30\), \(\displaystyle 6\cdot20\) és \(\displaystyle 12\cdot10\) alakban bonthatjuk fel. Tehát négy megfelelő háromszöget kapunk.

Statisztika:

133 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Árvai Benedek, Bakurek Máté, Barta Veronika, Csima Borbála, Csizi Jázmin, Dancsák Dénes, Daruka Balázs, Divényi Bernadett, Dolinka Zsombor, Duan Jiayi, Ecsédi Dániel, Érdi Ferenc Vince, Fórizs Emma, Göblös Tamás, Heim Flóra, Jármai Roland, Jenei Ákos Zoltán, Kéki Edit, Kovács Levente, Kurucz Kitti, Lajos Luca, Lupkovics Lilla, Mayer Krisztián, Meinhardt Vilmos, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Őszi Nóra, Pilz Helga, Rassai Amanda Patrícia, Richlik Márton, Sándor Eszter, Schäffer Donát, Sebestyén József Tas, Silye Zoltán, Simon Géza, Solymosi Csongor, Susán Henrik, Szeibert Dominik, Töreczki Gábor, Valter Benedek, Varga 241 Ildikó Kata, Várhegyi Hajnal Eszter, Végh Lilian, Zsigószki Milán.
5 pontot kapott:	15 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai