Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 668. (October 2020)

K. 668. \(\displaystyle a)\) How many isosceles triangles are there for which the length of the legs is 13 cm and the area is 60 cm\(\displaystyle {}^2\)?

\(\displaystyle b)\) How many right-angled triangles are there for which the legs are even integers, and the area is 60 cm\(\displaystyle {}^2\)?

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Két egybevágó derékszögű háromszögre bonthatjuk az egyenlőszárú háromszöget. Ezek átfogója 13 cm, átfogóhoz tartozó magassága \(\displaystyle m=60/13\) cm. Ilyen háromszög csak egyféle van, viszont mindkét befogónál összeilleszthető belőle kettő. Így kétféle, a feltételeknek megfelelő egyenlőszárú háromszöget kaphatunk.

b) A derékszögű háromszög területének kétszerese a befogók szorzata. Mivel a terület \(\displaystyle 60~\textrm{cm}^2\), ezért a befogók szorzata 120. Páros számok szorzatára a 120-at \(\displaystyle 2\cdot60\), \(\displaystyle 4\cdot30\), \(\displaystyle 6\cdot20\) és \(\displaystyle 12\cdot10\) alakban bonthatjuk fel. Tehát négy megfelelő háromszöget kapunk.


Statistics:

133 students sent a solution.
6 points:Árvai Benedek, Bakurek Máté, Barta Veronika, Csima Borbála, Csizi Jázmin, Dancsák Dénes, Daruka Balázs, Divényi Bernadett, Dolinka Zsombor, Duan Jiayi, Ecsédi Dániel, Érdi Ferenc Vince, Fórizs Emma, Göblös Tamás, Heim Flóra, Jármai Roland, Jenei Ákos Zoltán, Kéki Edit, Kovács Levente, Kurucz Kitti, Lajos Luca, Lupkovics Lilla, Mayer Krisztián, Meinhardt Vilmos, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Őszi Nóra, Pilz Helga, Rassai Amanda Patrícia, Richlik Márton, Sándor Eszter, Schäffer Donát, Sebestyén József Tas, Silye Zoltán, Simon Géza, Solymosi Csongor, Susán Henrik, Szeibert Dominik, Töreczki Gábor, Valter Benedek, Varga 241 Ildikó Kata, Várhegyi Hajnal Eszter, Végh Lilian, Zsigószki Milán.
5 points:15 students.
4 points:28 students.
3 points:23 students.
2 points:11 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020