Problem K. 67. (January 2006)

K. 67. In a television quiz, 10 people are asked questions. They all answer simultaneously by pressing the button assigned to the answer they think correct. Those who answer correctly get as many points each as the number of incorrect answers. After the fifth question answered, the players had 116 points altogether. 32 of these were collected by Géza. Show that Géza answered all the five questions correctly.

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Egy kérdésre a 10 versenyző által együttesen kapható pontok lehetséges értékei: 10^.0=0, 9^.1=9, 8^.2=16, 7^.3=21, 6^.4=24, 5^.5=25. A versenyzők összpontszáma 116, azaz a lehetséges 125 pontból 9-et veszítettek. Ez kétféleképpen következhet be: vagy egyszer 9 és 4-szer 0 pontot vesztettek el (tehát egyszer 16-ot és 4-szer 25-öt kaptak összesen), vagy 1-szer 1, 2-szer 4 és 2-szer 0 pontot vesztettek el (tehát 1-szer 24, 2-szer 21 és 2-szer 25 pontot kaptak összesen). Ha az első eset állna fenn, akkor a legtöbb pontot gyűjtő versenyző pontszáma nem lehetne 4^.5+8=28-nál nagyobb, tehát az első eset nem állhat fenn. Így a versenyzők 1-szer 24, 2-szer 21 és 2-szer 25 pontot kaptak összesen. Ekkor az elérhető maximum pontszám 1^.6+2^.7+2^.5=30. Mivel Gézának ennyi pontja van, ezért minden kérdésre helyesen kellett válaszolnia.

Statistics:

113 students sent a solution.
6 points:	Balázs Gábor, Bálint Alexandra Mercédesz, Bencs 111 Ferenc, Bereczki 118 Katalin, Besnyő Réka, Botlik Barnabás, Csányi János Dániel, Császár Orsolya, Dániel Balázs, Deák Mária, Englert Dávid, Glasenhardt Katalin, Honfi Dávid, János Júlia Zsófia, Kovács 007 Attila, Kunos Ádám, Kurgyis Kata, Lantos Tamás, Márki Róbert, Meszlényi Regina, Nagy 146 Tímea, Nagy 777 Boglárka, Németh 361 Nándor, Pápai Dávid, Petróczy Dóra Gréta, Pigler Csaba, Schönek Barnabás, Simon Attila, Stumphauser 132 Tímea, Szikszai Mónika, Szikszay László, Zsupanek Alexandra.
5 points:	Boros Csanád Örs, Csuzi András, Gévay Gábor, Izsó Dániel, Kilyén 666 Attila Örs, Király Csilla, Molnár 289 András, Pacskó Levente, Papp Tamás, Péter Gábor, Szlovák Emese, Vincze Dávid.
4 points:	27 students.
3 points:	10 students.
2 points:	9 students.
1 point:	10 students.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2006