Problem K. 672. (November 2020)

K. 672. A garden is divided into 16 patches as shown in the figure. In each patch, either roses or tulips or daisies or gerberas are grown: only one type of flower in each, but every row, every column, and both diagonals contain every type of flower. In how many different ways is it possible to arrange the flowers in this way? (Two arrangements are considered different if there exists a patch that contains a different kind of flower.)

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. A kert négy sarokparcellájában négy különböző virág kell, hogy legyen, hiszen párosával egy sorban, oszlopban, illetve átlóban lesznek. A négy virágot jelölje A, B, C és D. Helyezzük el ezeket a sarokparcellákba valamilyen sorrendben. (Huszonnégy sorrend lehetséges, az ábrán egyet látunk.)

Helyezzük el először a A-kat! Mivel az egyik átlóba A már nem kerülhet, így a második sorban a harmadik vagy a negyedik parcellába ültethetjük csak a A-t.

I. Legyen először a harmadikban az A, a többi A helye már adódik.

A harmadik sor második parcellájába C-t kell írni az átló miatt, ekkor a többi C helye is adódik már, és így a többi B és D helye is.

II. Legyen most a második sor negyedik parcellájában az A, a többi A helye már adódik. Helyezzük el a többi C-t! Az BD átlóban kell lennie C-nek, és már csak egy hely volt szabad, így a második sor harmadik parcellája C, a többi C helye már adódik. Az alsó sorból egy B hiányzik, így a többi B helyét, illetve a többi D helyét is egyértelműen megtaláljuk már.

Mivel ehhez az A-B-C-D elhelyezéshez kétféle befejező elrendezést találtunk és az A, B, C és D elhelyezése 24-féle lehet, így összesen 48-féleképpen lehet beültetni a kertet a feltételeknek megfelelően.

2 megoldás. A kert négy sarokparcellájában négy különböző virág kell, legyen, hiszen párosával egy sorban, oszlopban, illetve átlóban lesznek. A négy virágot jelölje A, B, C és D. Helyezzük el ezeket a sarokparcellákba valamilyen sorrendben (huszonnégy sorrend lehetséges). A középső négy mezőt négyféleképpen ültethetjük be.

E négy lehetőség közül kettőt lehet a feltételeknek megfelelően befejezni. (Az első és az utolsó ábra szerint.)

Mivel ehhez az A-B-C-D elhelyezéshez kétféle befejező elrendezést találtunk és az A, B, C és D elhelyezése 24- féle lehet, így összesen 48-féleképpen lehet beültetni a kertet a feltételeknek megfelelően.

Statistics:

98 students sent a solution.
6 points:	Bacsek Emma Borbála, Barta Veronika, Biró Anna, Bóta Bálint, Buday Noémi, Csima Borbála, Dancsák Dénes, Érdi Ferenc Vince, Farkas Zsófia, Fórizs Emma, Görcsös Ákos Attila, Heltovics Lilla, Horváth 221 Zsóka, KrakompergerBence, Kuba Nikoletta, Kurucz Kitti, Mayer Krisztián, Molnár Kristóf, Őszi Nóra, Sándor Eszter, Sebestyén József Tas, Simon Géza, Skrabák Virág, Susán Henrik, Szabó Csenge, Varga 621 Emese .
5 points:	Árvai Benedek, Duan Jiayi, Görgényi András Levente, Heim Flóra, Jenei Ákos Zoltán, Kéki Edit, Lajos Luca, Lupkovics Lilla, Markovics Áron, Mészáros Ádám, Pilz Helga, Silye Zoltán, Vesztergombi Júlia.
4 points:	11 students.
3 points:	12 students.
2 points:	8 students.
1 point:	15 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2020