A K. 673. feladat (2020. november)

K. 673. Egy osztály, melynek tanulói létszámát nem ismerjük, elhatározta, hogy karácsonyra mindenki mindenkinek vesz valami apró ajándékot, az őket tanító 11 tanárnak pedig közösen vesznek egy-egy ajándéktárgyat. Az ajándékozás sajnos elmaradt, ezért úgy döntöttek, hogy az ajándékokat szétosztják az osztály tanulóinak testvérei között igazságosan. (Minden testvér ugyanannyi ajándéktárgyat kap.) Lehetséges-e ez, ha 15 testvér van összesen?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az osztály tanulónak létszámát \(\displaystyle x\). Ekkor az osztálytársak egymásnak vásárolt ajándékainak száma \(\displaystyle x(x–1)\), a tanároknak vásárolt ajándékokkal együtt összesen \(\displaystyle x(x–1)+11\) ajándékot vettek. A kérdés, hogy van-e olyan \(\displaystyle x\), amelyre ez a szám osztható \(\displaystyle 15\)-tel. Ehhez szükséges lenne, hogy \(\displaystyle x(x–1)\) \(\displaystyle 15\)-tel osztva \(\displaystyle 4\)-et adjon maradékul. Ez viszont azt jelentené, hogy \(\displaystyle x(x–1)\) \(\displaystyle 3\)-mal osztva \(\displaystyle 1\)-et ad maradékul. Ez nem lehetséges, mert ha valamelyikük osztható \(\displaystyle 3\)-mal, akkor a maradék \(\displaystyle 0\), ha pedig egyikük sem osztható \(\displaystyle 3\)-mal, akkor \(\displaystyle x\) \(\displaystyle 2\)-t, \(\displaystyle x–1\) \(\displaystyle 1\)-et ad maradékul \(\displaystyle 3\)-mal osztva, és a szorzatuk így \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul \(\displaystyle 3\)-mal osztva.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	67 versenyző.
5 pontot kapott:	20 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai