Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 677. feladat (2020. december)

K. 677. Az \(\displaystyle S\) számhalmaznak 5 eleme van. Az elemeket páronként összeadva a következő összegeket kapjuk: 0, 6, 11, 12, 17, 20, 23, 26, 32 és 37. Adjuk meg \(\displaystyle S\) elemeit.

(Texas Mathematical Olympiad)

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a \(\displaystyle 10\) számot összeadjuk, akkor egy olyan összeget kapunk, melyben \(\displaystyle S\) minden eleme pontosan négyszer szerepel (mert egy adott elem négy pár összegében szerepel). Így \(\displaystyle S\) elemeinek összege \(\displaystyle (0+6+11+12+17+20+23+26+32+37) : 4 = 46\). A két legnagyobb elem összege \(\displaystyle 37\), a két legkisebb elem összege \(\displaystyle 0\), tehát a középső elem \(\displaystyle 46-37=9\). A legkisebb elem biztosan negatív, mert a két legkisebb összege \(\displaystyle 0\). Ha ezt a \(\displaystyle 9\)-cel összeadjuk, akkor \(\displaystyle 9\)-nél kisebb értéket kapunk, ami csak a \(\displaystyle 6\) lehet. Tehát a legkisebb elem a \(\displaystyle –3\), a második legkisebb elem pedig a \(\displaystyle 3\). A második legnagyobb összeget úgy kapjuk, hogy a legnagyobb elemet a középsővel adjuk össze, így a legnagyobb elem a \(\displaystyle 32-9=23\), tehát a második legnagyobb elem a \(\displaystyle 37-23=14\). Könnyen ellenőrizhető, hogy a \(\displaystyle –3\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 14\), \(\displaystyle 23\) számok eleget tesznek a kezdeti feltételeknek.


Statisztika:

A K. 677. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai