Problem K. 677. (December 2020)

K. 677. The five elements of a number set \(\displaystyle S\) are pairwise added to produce the sums 0, 6, 11, 12, 17, 20, 23, 26, 32 and 37. Find the elements of \(\displaystyle S\).

(Texas Mathematical Olympiad)

(6 pont)

Deadline expired on January 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a \(\displaystyle 10\) számot összeadjuk, akkor egy olyan összeget kapunk, melyben \(\displaystyle S\) minden eleme pontosan négyszer szerepel (mert egy adott elem négy pár összegében szerepel). Így \(\displaystyle S\) elemeinek összege \(\displaystyle (0+6+11+12+17+20+23+26+32+37) : 4 = 46\). A két legnagyobb elem összege \(\displaystyle 37\), a két legkisebb elem összege \(\displaystyle 0\), tehát a középső elem \(\displaystyle 46-37=9\). A legkisebb elem biztosan negatív, mert a két legkisebb összege \(\displaystyle 0\). Ha ezt a \(\displaystyle 9\)-cel összeadjuk, akkor \(\displaystyle 9\)-nél kisebb értéket kapunk, ami csak a \(\displaystyle 6\) lehet. Tehát a legkisebb elem a \(\displaystyle –3\), a második legkisebb elem pedig a \(\displaystyle 3\). A második legnagyobb összeget úgy kapjuk, hogy a legnagyobb elemet a középsővel adjuk össze, így a legnagyobb elem a \(\displaystyle 32-9=23\), tehát a második legnagyobb elem a \(\displaystyle 37-23=14\). Könnyen ellenőrizhető, hogy a \(\displaystyle –3\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 14\), \(\displaystyle 23\) számok eleget tesznek a kezdeti feltételeknek.

Statistics:

112 students sent a solution.
6 points:	Árvai Benedek, Bakurek Máté, Barta Veronika, Betegh Janka, Bóta Bálint, Bunford Luca, Dancsák Dénes, Érdi Ferenc Vince, Fekete 127 Zsombor, Ferencsik Zsombor, Fodor Gergely, Fórizs Borbála, Fórizs Emma, Gaspari Márton Samu, Görcsös Ákos Attila, Görgényi András Levente, Gulyás Janka, Gyönki Dominik, Heltovics Lilla, Horváth 221 Zsóka, Jenei Ákos Zoltán, Kéki Edit, Kovács Levente, KrakompergerBence, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Mayer Krisztián, Merész Benedek, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Őszi Nóra, Pilz Helga, Schäffer Donát, Sebestyén József Tas, Solymosi Csongor, Szeibert Dominik, Tarján Bernát, Tomesz László Gergő, Török Hanga, Vanyó Gréta, Varga 241 Ildikó Kata, Varga 621 Emese , Várhegyi Hajnal Eszter, Zsigószki Milán.
5 points:	21 students.
4 points:	10 students.
3 points:	12 students.
2 points:	4 students.
1 point:	10 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020