A K. 678. feladat (2020. december)

K. 678. Az asztalon egy sorban egymás mellett fekszik 2020 db pénzérme váltakozva fej, írás, fej, írás, ... sorrendben. Egy lépésben egyszerre bármelyik három szomszédos pénzérmét átfordítjuk a másik oldalára. Elérhető-e ilyen lépések sorozatával, hogy minden pénzérme írást mutasson?

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Számozzuk be a pénzérméket balról jobbra haladva, hogy könnyebben lehessen róluk beszélni! Az 1-es érmét páratlanszor kell megfordítanunk, hogy írás legyen a végén, így az (123) érmeegyüttest is páratlanszor fordítjuk meg, mert az 1-est csak így tudjuk átfordítani. A 2-es érmét összesen párosszor kell megfordítanunk, az (123) forgatásokban páratlanszor fordult, így a (234) forgatásokban is páratlanszor kell fordulnia, tehát ebből is páratlan sokat kell végrehajtanunk. A (345) forgatásokból a 3-as érme miatt ismét páratlan számút kell csinálnunk, mert eddig párosszor fordult át. A 4-es érme eddig összesen párosszor fordult át, így a (456) forgatásból páros sokat kell végrehajtanunk. Ezt folytatva, majd a kapott eredményeket táblázatba foglalva az alábbiakat kapjuk:

Megfigyelhető a táblázatban, hogy az egymás melletti hármas csoportoknál a szükséges forgatások száma hatosával páratlan-páratlan-páratlan-páros-páros-páros sorrendben követi egymást, majd ez ismétlődik. Ez azt jelenti, hogy a 6-tal osztható sorszámú érmékkel kezdődő érmehármas után kezdődik újra. Mivel 2016 osztható 6-tal, ezért a 2017-2018-2019 hármast páratlanszor, és a 2018-2019-2020 hármast is páratlanszor fogjuk megfordítani. Tehát a 2019-es érmét összesen páros sokszor, a 2020-ast pedig páratlanszor fordítjuk át, azonban pont fordítva kéne, így ez a két érme nem tud a többi érmével egyidejűleg írásra fordulni.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	74 versenyző.
5 pontot kapott:	2 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai