Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 678. feladat (2020. december)

K. 678. Az asztalon egy sorban egymás mellett fekszik 2020 db pénzérme váltakozva fej, írás, fej, írás, ... sorrendben. Egy lépésben egyszerre bármelyik három szomszédos pénzérmét átfordítjuk a másik oldalára. Elérhető-e ilyen lépések sorozatával, hogy minden pénzérme írást mutasson?

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Számozzuk be a pénzérméket balról jobbra haladva, hogy könnyebben lehessen róluk beszélni! Az 1-es érmét páratlanszor kell megfordítanunk, hogy írás legyen a végén, így az (123) érmeegyüttest is páratlanszor fordítjuk meg, mert az 1-est csak így tudjuk átfordítani. A 2-es érmét összesen párosszor kell megfordítanunk, az (123) forgatásokban páratlanszor fordult, így a (234) forgatásokban is páratlanszor kell fordulnia, tehát ebből is páratlan sokat kell végrehajtanunk. A (345) forgatásokból a 3-as érme miatt ismét páratlan számút kell csinálnunk, mert eddig párosszor fordult át. A 4-es érme eddig összesen párosszor fordult át, így a (456) forgatásból páros sokat kell végrehajtanunk. Ezt folytatva, majd a kapott eredményeket táblázatba foglalva az alábbiakat kapjuk:

érme 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
szükséges forgatások pt ps pt ps pt ps pt ps pt ps pt ps pt
csoportforgatások pt pt pt  
pt pt pt
pt pt pt
ps ps ps
ps ps ps
pspsps
pt pt pt
pt pt pt
pt pt pt
ps ps ps
ps ps ps

Megfigyelhető a táblázatban, hogy az egymás melletti hármas csoportoknál a szükséges forgatások száma hatosával páratlan-páratlan-páratlan-páros-páros-páros sorrendben követi egymást, majd ez ismétlődik. Ez azt jelenti, hogy a 6-tal osztható sorszámú érmékkel kezdődő érmehármas után kezdődik újra. Mivel 2016 osztható 6-tal, ezért a 2017-2018-2019 hármast páratlanszor, és a 2018-2019-2020 hármast is páratlanszor fogjuk megfordítani. Tehát a 2019-es érmét összesen páros sokszor, a 2020-ast pedig páratlanszor fordítjuk át, azonban pont fordítva kéne, így ez a két érme nem tud a többi érmével egyidejűleg írásra fordulni.


Statisztika:

A K. 678. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai