Problem K. 678. (December 2020)

K. 678. There are 2020 coins lying on the table, lined up and showing heads, tails, heads, tails, ... alternating. In one move, it is allowed to reverse any three consecutive coins. With an appropriate sequence of such moves, is it possible to achieve that every coin should show tails?

(6 pont)

Deadline expired on January 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Számozzuk be a pénzérméket balról jobbra haladva, hogy könnyebben lehessen róluk beszélni! Az 1-es érmét páratlanszor kell megfordítanunk, hogy írás legyen a végén, így az (123) érmeegyüttest is páratlanszor fordítjuk meg, mert az 1-est csak így tudjuk átfordítani. A 2-es érmét összesen párosszor kell megfordítanunk, az (123) forgatásokban páratlanszor fordult, így a (234) forgatásokban is páratlanszor kell fordulnia, tehát ebből is páratlan sokat kell végrehajtanunk. A (345) forgatásokból a 3-as érme miatt ismét páratlan számút kell csinálnunk, mert eddig párosszor fordult át. A 4-es érme eddig összesen párosszor fordult át, így a (456) forgatásból páros sokat kell végrehajtanunk. Ezt folytatva, majd a kapott eredményeket táblázatba foglalva az alábbiakat kapjuk:

Megfigyelhető a táblázatban, hogy az egymás melletti hármas csoportoknál a szükséges forgatások száma hatosával páratlan-páratlan-páratlan-páros-páros-páros sorrendben követi egymást, majd ez ismétlődik. Ez azt jelenti, hogy a 6-tal osztható sorszámú érmékkel kezdődő érmehármas után kezdődik újra. Mivel 2016 osztható 6-tal, ezért a 2017-2018-2019 hármast páratlanszor, és a 2018-2019-2020 hármast is páratlanszor fogjuk megfordítani. Tehát a 2019-es érmét összesen páros sokszor, a 2020-ast pedig páratlanszor fordítjuk át, azonban pont fordítva kéne, így ez a két érme nem tud a többi érmével egyidejűleg írásra fordulni.

Statistics:

105 students sent a solution.
6 points:	74 students.
5 points:	2 students.
4 points:	2 students.
3 points:	3 students.
2 points:	5 students.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	8 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020