Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 680. feladat (2021. január)

K. 680. Egy kocka négy lapját befestettük pirosra, majd a kockát szétvágtuk 125 darab egyforma kiskockára. Ezek között hány olyan lehet, amelynek egyik lapja sem festékes?

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Bármelyik négy lapot is festjük be, a kocka belsejében levő \(\displaystyle 3\times3\times3=27\) db kiskocka egyik lapja sem lesz festékes. A nagy kocka négy lapjának befestése egyben azt is jelenti, hogy két lapot nem festettünk be. Ez a két lap kétféleképpen helyezkedhet el: szemköztiek vagy szomszédosak. Ha szemköztiek, akkor a két festetlen lap közepén levő \(\displaystyle 3\times3\) kocka egyik lapja sem festékes, a többi felületen levő kockáknak pedig legalább az egyik lapja festékes lett. Ebben az esetben tehát összesen \(\displaystyle 27+9+9=45\) darab festetlen lapokkal határolt kiskockát találunk. Ha a két festetlen lap szomszédos, akkor a két lap közepén levő kiskockákon kívül a közös élen levő nem csúcskockák is festetlenek, tehát az előzőhöz képest 3-mal több, azaz 48 festetlen kiskockát találunk.


Statisztika:

A K. 680. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. januári matematika feladatai