Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 680. (January 2021)

K. 680. Four faces of a cube are coloured red, and then the cube is cut into 125 identical small cubes. What may be the number of small cubes with no red face?

(6 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bármelyik négy lapot is festjük be, a kocka belsejében levő \(\displaystyle 3\times3\times3=27\) db kiskocka egyik lapja sem lesz festékes. A nagy kocka négy lapjának befestése egyben azt is jelenti, hogy két lapot nem festettünk be. Ez a két lap kétféleképpen helyezkedhet el: szemköztiek vagy szomszédosak. Ha szemköztiek, akkor a két festetlen lap közepén levő \(\displaystyle 3\times3\) kocka egyik lapja sem festékes, a többi felületen levő kockáknak pedig legalább az egyik lapja festékes lett. Ebben az esetben tehát összesen \(\displaystyle 27+9+9=45\) darab festetlen lapokkal határolt kiskockát találunk. Ha a két festetlen lap szomszédos, akkor a két lap közepén levő kiskockákon kívül a közös élen levő nem csúcskockák is festetlenek, tehát az előzőhöz képest 3-mal több, azaz 48 festetlen kiskockát találunk.


Statistics:

130 students sent a solution.
6 points:93 students.
5 points:5 students.
4 points:5 students.
3 points:7 students.
2 points:12 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021