Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 681. (January 2021)

K. 681. How many triangles are there in which the sides have integer lengths in centimetres, and the longest side is 2021 cm long? (There may be more than one side of this length.)

(6 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A két rövidebb oldal összesen hosszabb kell, hogy legyen a 2021 cm-es oldal(ak)nál.

Legyen a \(\displaystyle \le b \le c = 2021\). A középső, \(\displaystyle b\) oldal legalább 1011 cm hosszú.

a12\(\displaystyle \ldots\) 202123\(\displaystyle \ldots\) 202034\(\displaystyle \ldots\) 2019\(\displaystyle \ldots\)
b20212021\(\displaystyle \ldots\) 202120202020\(\displaystyle \ldots\) 202020192019\(\displaystyle \ldots\) 2019\(\displaystyle \ldots\)
c20212021\(\displaystyle \ldots\) 202120212021\(\displaystyle \ldots\) 202120212021\(\displaystyle \ldots\) 2021\(\displaystyle \ldots\)
a\(\displaystyle \ldots\) 1010101110121011
b\(\displaystyle \ldots\) 1012101210121011
c\(\displaystyle \ldots\) 2021202120212021

A háromszögek száma:

\(\displaystyle 2021 + 2019 + 2017 + \ldots + 5+ 3 + 1 = \frac{2021+1}{2}\cdot1011=1\,022\,121\).


Statistics:

103 students sent a solution.
6 points:Árvai Benedek, Bacsek Emma Borbála, Bakurek Máté, Barta Veronika, Biró Anna, Biró Róza, Bogár-Szabó Mihály, Buday Noémi, Csóka Péter, Dolinka Zsombor, Dukát Levente, Érdi Ferenc Vince, Farkas Zsófia, Ferencsik Zsombor, Fórizs Emma, Heim Flóra, Hochenburger Zoárd, Jármai Roland, Jenei Ákos Zoltán, Katzer Míra Klára, Kéki Edit, Kovács Levente, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Lajos Luca, Laskai Botond, Markovics Áron, Markovics Benjámin, Mayer Krisztián, Mészáros Ádám, Mihalik Sára, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Németh Dávid László, Németh Máté, Nyikos Botond Tamás, Rassai Amanda Patrícia, Richlik Márton, Schäffer Donát, Sebestyén József Tas, Simon Géza, Solymosi Csongor, Tarján Bernát, Tatár Bálint, Timár Lilla, Török Hanga.
4 points:3 students.
3 points:22 students.
2 points:22 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021