Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 682. (January 2021)

K. 682. There is a sufficient number of copies of three different cards, with one digit on each. All possible four-digit positive numbers are formed out of the cards. The sum of these numbers is \(\displaystyle 689\,931\). What are the three digits on the cards?

(6 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. I. Ha a számjegyek között nem szerepel a 0.
(1) Ha mind a háromféle számkártyát felhasználjuk (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c)\), akkor valamelyik számjegy kétszer szerepel.

Ha az \(\displaystyle a\)-ból veszünk kettőt, akkor \(\displaystyle \overline {aabc} +\overline {aacb} +\overline {abac} +\overline {acab} +\overline {abca} +\overline {acba} +\overline {baac} +\overline {caab} +\overline {baca} +\overline {caba} +\overline {bcaa} +\overline {cbaa} =\)

\(\displaystyle =6666a+3333b+3333c. \)

Hasonlóan, ha \(\displaystyle b\)-ből veszünk kettőt, akkor \(\displaystyle 6666b+3333a+3333c\), ha pedig a c-ből veszünk kettőt, akkor \(\displaystyle 6666c+3333a+3333b\) az összeg. Összesen tehát 13332\(\displaystyle a+\)13332\(\displaystyle b+\)13332\(\displaystyle c\) az ilyen számok összege.

(2) Ha csak két számkártyát használunk fel. Ezt 2-2 vagy 3-1 (vagy 1-3) eloszlásban tehetjük meg.

Ha például 2 db \(\displaystyle a\)-t és 2 db \(\displaystyle b\)-t használunk, akkor az elkészíthető számok összege:

\(\displaystyle \overline {aabb} +\overline {abab} +\overline {abba} +\overline {bbaa} +\overline {baba} +\overline {baab} =3333a+3333b\).

Hasonlóan a többi ilyen esetben \(\displaystyle 3333a+3333c\), illetve \(\displaystyle 3333b+3333c\) az összeg, azaz mindösszesen az ilyen számok összege \(\displaystyle 6666a+6666b+6666c\).

Ha például 3 db \(\displaystyle a\)-t és 1 db \(\displaystyle b\)-t használunk, akkor az elkészíthető számok összege: \(\displaystyle \overline {aaab} +\overline {aaba} +\overline {abaa} +\overline {baaa} =3333a+1111b\), hasonlóképpen a többi összeg \(\displaystyle 3333b+1111a\), \(\displaystyle 3333a+1111c\), \(\displaystyle 3333c+1111a\), \(\displaystyle 3333b+1111c\), \(\displaystyle 3333c+1111b\), azaz mindösszesen \(\displaystyle 8888a+8888b+8888c\) az ilyen számok összege.

(3) Ha csak egyféle számjegyet használunk fel, akkor ezeknek a számoknak az összege \(\displaystyle \overline {aaaa} +\overline {bbbb} +\overline {cccc} =1111a+1111b+1111c\).

Az összes ilyen négyjegyű szám összege tehát \(\displaystyle (13332+6666+8888+1111)(a+b+c)=29997a+29997b+29997c=689\,931\), ahonnan \(\displaystyle a+b+c=23\). A három számjegy csak a \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 6\) lehetett.

I. Ha a számjegyek között szerepel a 0.
Ekkor kevesebb szám készíthető, tehát \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) összegére legalább 23-at kapunk. Mivel az egyik számjegy \(\displaystyle 0\), a másik kettő összege pedig legfeljebb \(\displaystyle 18\), ez nem lehetséges.


Statistics:

94 students sent a solution.
6 points:Árvai Benedek, Bakurek Máté, Biró Anna, Biró Róza, Érdi Ferenc Vince, Fórizs Emma, Gaspari Márton Samu, Heim Flóra, Horváth 221 Zsóka, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kornya Gergely Csaba, Kovács Levente, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Lázár Bence, Lupkovics Lilla, Márkus-Deák Attila, Mayer Krisztián, Merész Benedek, Mihalik Sára, Németh Dávid László, Németh Máté, Rassai Amanda Patrícia, Simon Géza, Solymosi Csongor, Tarján Bernát, Várhegyi Hajnal Eszter.
5 points:52 students.
4 points:5 students.
3 points:5 students.
2 points:2 students.
1 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021