Problem K. 683. (January 2021)

K. 683. A heptagon \(\displaystyle ABCDEFG\) is inscribed in a circle. The sum of angles \(\displaystyle \angle ABC\), \(\displaystyle \angle CDE\) and \(\displaystyle \angle EFG\) is greatrer than \(\displaystyle 450^{\circ}\). Show that the centre of the circumscribed circle cannot lie either inside the heptagon or on its boundary.

(The University of Stirling, school mathematics competition, 1983)

(6 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rajzoljuk meg a hétszög köré írható kört! Tegyük fel, hogy ennek O középpontja a hétszög belsejébe esik! Kössük össze az O középpontot a hétszög csúcsaival. Így 7 db egyenlő szárú háromszöget kapunk, melyek együttesen lefedik a hétszöget. Az ezek alapján fekvő szögeket az OAB háromszögtől kezdve jelölje rendre \(\displaystyle \alpha \), \(\displaystyle \beta \), \(\displaystyle \gamma \), \(\displaystyle \delta \), \(\displaystyle \varepsilon \), \(\displaystyle \phi \) és \(\displaystyle \lambda \).

A három említett szög ABC\(\displaystyle \angle = \alpha + \beta \), CDE\(\displaystyle \angle = \gamma + \delta \), EFG\(\displaystyle \angle = \varepsilon \) \(\displaystyle + \phi \). Ezek összege 450 foknál nagyobb, és a hétszög belső szögeinek összege 900 fok. Az elrendezésből adódóan a hétszög szögeinek összege 2(\(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma + \delta +\) \(\displaystyle \varepsilon + \phi + \lambda )\), ami 900 foknál nagyobb, mert \(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon +\) \(\displaystyle \phi \) nagyobb 450 foknál. Ez viszont nem lehet, tehát az említett 7 háromszög nem jöhet létre az ábra szerinti elrendezésben, vagyis a középpont nem lehet a hétszög belsejében. Ha a középpont a hétszög valamelyik oldalára esik, akkor annyiban módosulnak a fentiek, hogy az egyik háromszög nem jön létre, csak 6 háromszöget kapunk. Ha viszont a hetedik háromszöget is létrehozottnak tekintjük 180, 0, 0 fokos szögekkel, akkor a fentiek pontosan ugyanúgy elmondhatók. Tehát a kör középpontja a hétszög egyik oldalára sem eshet.

Statistics:

60 students sent a solution.
6 points:	Barta Veronika, Bunford Luca, Dóczi Sára, Fodor Gergely, Fórizs Borbála, Gulyás Janka, Hochenburger Zoárd, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Mayer Krisztián, Nagy 123 Krisztina.
5 points:	Baksa Anna, Biró Anna, Biró Róza, Fórizs Emma, Laskai Botond, Lőrincz Panna, Molnár Kristóf, Sebestyén József Tas, Susán Henrik, Végh Lilian.
4 points:	3 students.
3 points:	5 students.
2 points:	5 students.
1 point:	10 students.
0 point:	14 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021