Problem K. 684. (February 2021)

K. 684. \(\displaystyle a)\) Sophie and Bertie are playing a game that involves breaking a bar of chocolate into pieces. The chocolate bar consists of \(\displaystyle 10\times 5\) squares. They take turns in splitting the chocolate along the dividing lines. The player who first breaks off a single square will lose the game. In each move, they are only allowed to touch and split one piece. Sophie starts the game. Can she make sure that she will win, whatever Bertie's moves are?

\(\displaystyle b)\) After the first game, Bertie wants to strike back. He wants Sophie to start again, but with a different rule: the player who first breaks off a single square will win the game. Can Sophie make sure that she will win again?

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Zsófinak két \(\displaystyle 5\times5\)-ös darabot kell törnie. Ezután Balázs az egyik darabot eltöri valahogyan, és Zsófinak ugyanazt a törést kell végrehajtania a másik darabon. Innentől kezdve előáll az a helyzet, hogy minden darabnak van egy vele azonos méretű párja, így Zsófi meg tudja ismételni Balázs törését Balázs darabjának a párján, és ezt követően ismét minden darabnak lesz egy vele azonos méretű párja. Ha Zsófi ezt a taktikát folytatja, akkor ha Balázs nem tört egy egy kockányi darabot, akkor ő sem fog, ha pedig Balázs tört ilyet, akkor Zsófi győzelmével véget ért a játék. (És ez előbb-utóbb nyilván bekövetkezik, hiszen a darabok egyre kisebbek lesznek.)

b) Zsófinak két \(\displaystyle 5\times5\)-ös darabot kell törnie. Ezután Balázs az egyik darabot eltöri valahogyan. Ha tört egy egy kocka szélességű darabot, akkor Zsófi letör belőle egy kockányit, és nyert. Ha nem tört ilyet Balázs, akkor Zsófi az előző játékból megismert taktikát folytatja: ugyanazt a törést hajtja végre a másik darabon, mint Balázs. Innentől kezdve ismét előáll az a helyzet, hogy minden darabnak van egy vele azonos méretű párja. Ha Balázs a soron következő törésében tör egy egy kocka szélességű darabot, akkor Zsófi nyert, ha nem, akkor pedig Zsófi meg tudja ismételni Balázs törését Balázs darabjának a párján, és ezt követően ismét minden darabnak lesz egy vele azonos méretű párja. Ha Zsófi ezt a taktikát folytatja, akkor mindenképpen előbb fog egy egy kockányi darabot törni, mint Balázs, így Zsófi győzelmével ér véget a játék. (És ez előbb-utóbb nyilván bekövetkezik, hiszen a darabok egyre kisebbek lesznek.)

Statistics:

86 students sent a solution.
6 points:	Bacsek Emma Borbála, Baksa Anna, Barta Veronika, Biró Anna, Biró Róza, Buday Noémi, Érdi Ferenc Vince, Fodor Gergely, Fórizs Emma, Gaspari Márton Samu, Görcsös Ákos Attila, Görgényi András Levente, Gulyás Janka, Heim Flóra, Horváth 221 Zsóka, Jenei Ákos Zoltán, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kurucz Kitti, Lázár Bence, Mayer Krisztián, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Sándor Eszter, Schäffer Donát, Sebestyén József Tas, Simon Géza, Szeibert Dominik, Tarján Bernát.
5 points:	Árvai Benedek, Heltovics Lilla, Kéki Edit, Kovács Levente.
4 points:	7 students.
3 points:	18 students.
2 points:	18 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021