A K. 686. feladat (2021. február)

K. 686. Felírjuk 1-től 100-ig az egész számokat egy-egy cédulára. A 100 darab cédula közül kiválasztunk véletlenszerűen 20 darabot. Mutassuk meg, hogy mindig találunk a kiválasztottak között négy olyat, hogy közülük kettőn-kettőn álló számok összege megegyezik.

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük a kiválasztott cédulákon álló számokat nagyságrendi sorrendbe. Ha a szomszédos számok különbségét tekintjük, és találunk köztük három vagy több azonosat, akkor biztosan van legalább négy olyan szám a sorban, melyek különbözők, és kettő-kettő különbsége egyenlő. Ezek a számok tehát \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+x\) és \(\displaystyle b\), \(\displaystyle b+x\) alakban írhatók, és ekkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b+x\) összege megegyezik \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle a+x\) összegével, így megtaláltuk a megfelelő négy számot. Hasonló a helyzet akkor, ha csak két egyező különbséget találunk, de ezek négy számot tekintve állnak elő. Előfordulhat azonban, hogy két egyforma különbség úgy áll elő, hogy csak 3 számot kapunk velük együtt, pl. \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+x\), \(\displaystyle a+2x\). Ebben az esetben még nem tudjuk garantálni, hogy van négy megfelelő szám. Viszont ha minden különbség legfeljebb kétszer szerepel az egymást követő számok között, akkor a legelső és a legutolsó szám különbsége legalább \(\displaystyle 1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7+8+8+9+9+10=100\), ami nem lehet, hiszen legfeljebb \(\displaystyle 99\) lehet az eltérés a két széle között. Tehát valamelyik különbség legalább háromszor kell szerepeljen, így az állítást igazoltuk.

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Fórizs Emma, Gulyás Janka, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kurucz Kitti, Mayer Krisztián, Molnár Kristóf, Sándor Eszter, Sebestyén József Tas, Szeibert Dominik, Tarján Bernát, Varga 621 Emese , Várhegyi Hajnal Eszter.
5 pontot kapott:	Tomesz László Gergő.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai