Problem K. 686. (February 2021)

K. 686. Each of the integers 1 to 100 is written on a separate piece of paper. 20 pieces of paper are drawn at random from the 100 pieces. Show that it is always possible to select four out of the 20 such that the sum of two numbers equals the sum of the other two.

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rendezzük a kiválasztott cédulákon álló számokat nagyságrendi sorrendbe. Ha a szomszédos számok különbségét tekintjük, és találunk köztük három vagy több azonosat, akkor biztosan van legalább négy olyan szám a sorban, melyek különbözők, és kettő-kettő különbsége egyenlő. Ezek a számok tehát \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+x\) és \(\displaystyle b\), \(\displaystyle b+x\) alakban írhatók, és ekkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b+x\) összege megegyezik \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle a+x\) összegével, így megtaláltuk a megfelelő négy számot. Hasonló a helyzet akkor, ha csak két egyező különbséget találunk, de ezek négy számot tekintve állnak elő. Előfordulhat azonban, hogy két egyforma különbség úgy áll elő, hogy csak 3 számot kapunk velük együtt, pl. \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+x\), \(\displaystyle a+2x\). Ebben az esetben még nem tudjuk garantálni, hogy van négy megfelelő szám. Viszont ha minden különbség legfeljebb kétszer szerepel az egymást követő számok között, akkor a legelső és a legutolsó szám különbsége legalább \(\displaystyle 1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7+8+8+9+9+10=100\), ami nem lehet, hiszen legfeljebb \(\displaystyle 99\) lehet az eltérés a két széle között. Tehát valamelyik különbség legalább háromszor kell szerepeljen, így az állítást igazoltuk.

Statistics:

56 students sent a solution.
6 points:	Fórizs Emma, Gulyás Janka, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kurucz Kitti, Mayer Krisztián, Molnár Kristóf, Sándor Eszter, Sebestyén József Tas, Szeibert Dominik, Tarján Bernát, Varga 621 Emese , Várhegyi Hajnal Eszter.
5 points:	Tomesz László Gergő.
4 points:	4 students.
3 points:	12 students.
2 points:	11 students.
1 point:	5 students.
0 point:	10 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021