Problem K. 688. (February 2021)

K. 688. \(\displaystyle a)\) Is it possible to form pairs out of the numbers \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, \dots, 23, 24\), so that the sum of each pair should be a perfect square?

\(\displaystyle b)\) Is it possible to form pairs out of the numbers \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, \dots, 21, 22\) so that the sum of each pair should be a perfect square?

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Igen. Mivel a \(\displaystyle 25\) négyzetszám, így könnyen találunk megfelelő párosítást:

\(\displaystyle 1+24=2+23=3+22=...=11+14=12+13=25.\)

b) Nem lehet. Kössük össze azokat a számokat, melyeket összeadva négyzetszámot kapunk. A 18 párja csak a 7 lehet, így a 9 párja csak a 16, és a 2 párja csak a 14, így a 11 párja az 5. Ekkor azonban a 20-nak nem lesz párja.

Statistics:

108 students sent a solution.
6 points:	Árvai Benedek, Biró Anna, Biró Róza, Bóta Bálint, Buday Noémi, Dancsák Dénes, Érdi Ferenc Vince, Fórizs Emma, Freschl Dorottya, Gulyás Janka, Heim Flóra, Hochenburger Zoárd, Horváth 204 Lóránt , Horváth 221 Zsóka, Kornya Gergely Csaba, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Markovics Benjámin, Mayer Krisztián, Mihalik Sára, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Pataky Ádám, Sándor Eszter, Simon Géza, Szabó Csenge.
5 points:	Bacsek Emma Borbála, Baksa Anna, Barta Veronika, Divényi Bernadett, Dukát Levente, Ecsédi Dániel, Gaspari Márton Samu, Gyönki Dominik, Hajdu Márton, Heltovics Lilla, Lajos Luca, Nyikos Botond Tamás, Őszi Nóra, Sebestyén József Tas, Simon Bence Márk , Solymosi Csongor, Susán Henrik, Szeibert Dominik, Tarján Bernát, Várhegyi Hajnal Eszter.
4 points:	22 students.
3 points:	9 students.
2 points:	19 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2021