Problem K. 690. (March 2021)
K. 690. Having a positive integer in mind, Peti formulated twenty-three statements about it. Two consecutive statements are false, but the rest of them are true:
1. It is divisible by 2.
2. It is divisible by 3.
3. It is divisible by 4.
\(\displaystyle \vdots\)
23. It is divisible by 24.
Peti was thinking about the smallest such number. What is his number?
(6 pont)
Deadline expired on April 12, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás Találjuk meg a hamis állításokat!
Ha ez az első két állítás lenne, akkor a gondolt szám nem lenne osztható 2-vel és 3-mal, de ezt pl. a 3. (igaz) állítás cáfolja. Gyűjtsük táblázatba az eseteket és az érveket.
| 1-2. | 2-3. | 3-4. | 4-5. | 5-6. | 6-7. | 7-8. | 8-9. | 9-10. | |
| (Például) melyik miatt nem lehet ez a két állítás hamis? | 3. | 5. | 7. | 9. | 13. | 13. | 15. | 19. | 19. |
| 10-11. | 11-12. | 12-13. | 13-14. | 14-15. | 15-16. | 16-17. | |
| (Például) melyik miatt nem lehet ez a két állítás hamis? | 21. | 2. és 3. egyszerre | 1. és 6. egyszerre | 1. és 6.egyszerre | 2. és 4. egyszerre | 1. és 8. egyszerre |
| 17-18. | 18-19. | 19-20. | 20-21. | 21-22. | 22-23. | 23-24. | |
| Melyik miatt nem lehet ez a két állítás hamis? | 1. és 8. egyszerre | 3. és 4. egyszerre | 3. és 4. egyszerre | 2. és 6. egyszerre | 1. és 10. egyszerre | 2. és 7. egyszerre | 2. és 7. |
Egyféleképpen lehetséges csak, hogy a 24 állításból kettő szomszédos nem igaz: a szám nem osztható 16-tal és 17-tel, de minden más számmal osztható 1-től 24-ig.
A legkisebb ilyen szám ezen számok legkisebb közös többszöröse, azaz: \(\displaystyle 2^3\cdot3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 19\cdot 23=157\,477\,320\).
Statistics:
91 students sent a solution. 6 points: Árvai Benedek, Barta Veronika, Biró Anna, Biró Róza, Dancsák Dénes, Dóczi Sára, Dukát Levente, Érdi Ferenc Vince, Farkas-Dancsházi Bálint, Fodor Gergely, Fórizs Emma, Görcsös Ákos Attila, Görgényi András Levente, Gulyás Janka, Gyönki Dominik, Heim Flóra, Hochenburger Zoárd, Horváth 204 Lóránt , Horváth 221 Zsóka, Jenei Ákos Zoltán, Kéki Edit, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kornya Gergely Csaba, Kuba Nikoletta, Kun Tamás, Kurucz Kitti, Lajos Luca, Laskai Botond, Lőrincz Panna, Mayer Krisztián, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Nyircsák Vivien, Sándor Eszter, Schäffer Donát, Sebestyén József Tas, Simon Géza, Singlá Dóra, Solymosi Csongor, Susán Henrik, Zaválnij Dorottya, Zsigószki Milán. 5 points: 21 students. 4 points: 7 students. 3 points: 11 students. 2 points: 2 students. 1 point: 3 students. 0 point: 2 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2021