Problem K. 694. (September 2021)
K. 694. How many seven-digit positive integers are there in which each digit is either \(\displaystyle 1\) or \(\displaystyle 2\) greater than the preceding digit? (Example: as in \(\displaystyle 1\,234\,678\).)
(5 pont)
Deadline expired on October 11, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az első számjegy legfeljebb 3 lehet.
Ha az első számjegy 1, akkor az utolsó számjegy 7, vagy 8, vagy 9 lehet.
Ha 7 az utolsó számjegy, akkor a számjegyek balról jobbra rendre 1-gyel nőnek (1234567), ha 8 az utolsó számjegy, akkor pontosan egy esetben lesz a szomszédos számjegyek különbsége 2, a többi szomszéd különbsége pedig 1. Ez hatféleképpen valósulhat meg: 1234568, 1234578, 1234678, 1235678, 1245678, 1345678.
Ha pedig 9 az utolsó számjegy, akkor pontosan két esetben lesz a szomszédos számjegyek különbsége 2, a többi szomszéd különbsége pedig 1. A hat hely közül kettőt kell kiválasztanunk, amit \(\displaystyle (6 \cdot 5 : 2 = )15\)-féleképpen tehetünk meg.
Így összesen \(\displaystyle 1 + 6 + 15 =22\) olyan megfelelő szám van, melynek 1 az első számjegye.
Ha az első számjegy 2, akkor az utolsó számjegy 8 vagy 9 lehet. Ha 8 az utolsó számjegy, akkor a számjegyek balról jobbra rendre 1-gyel nőnek (2345678), ha pedig 9 az utolsó számjegy, akkor pontosan egy esetben lesz a szomszédos számjegyek különbsége 2, a többi szomszéd különbsége pedig 1. Ez hatféleképpen valósulhat meg: 2345679, 2345689, 2345789, 2346789, 2356789, 2456789.
Így összesen 7 olyan szám van, melynek a 2 az első számjegye.
Egy olyan szám van, amelynek a 3 az első számjegye (3456789).
Tehát összesen \(\displaystyle 22 + 7 + 1 = 30\) ilyen szám van.
Statistics:
142 students sent a solution. 5 points: 65 students. 4 points: 25 students. 3 points: 17 students. 2 points: 8 students. 1 point: 9 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 7 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 4 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021