Problem K. 700. (October 2021)

K. 700. We have ten cards numbered 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 and 10. The cards are placed on the table in a row, and their numbers are added up in sets of three: first the cards in positions 1, 2, 3; then those in positions 2, 3, 4; followed by positions 3, 4, 5; and so on; finally adding up the numbers on the cards in positions 8, 9, 10. The sums obtained in this way are 14, 18, 24, 23, 24, 21, 16, 12, in this order. What is the sum of the numbers on the cars in the first and last positions?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha az első és az utolsó két kártyán lévő, illetve az első kettő és az utolsó kártyán lévő számok összegét is vesszük, akkor a tíz összegben minden számot pontosan háromszor használtunk, így az összegek összege a számok összegének háromszorosa, vagyis \(\displaystyle 3\cdot(1+2+\ldots+10)=3\cdot\frac{10\cdot11}{2}=165\). A megadott nyolc szám összege 152, így a hiányzó két összeg összege 13. A három legkisebb szám összege 6, így 13 csak úgy lehet ez az összeg, ha az egyik összeg 6, a másik pedig 7. Az első és utolsó szám az 1 és 2 lehet csak (vagy fordítva), a második és kilencedik szám pedig a 3 és 4 (vagy fordítva). Így az első és utolsó kártyára írt számok összege 3.
Megjegyzés: a megadott összegek meg is valósulhatnak például a 1, 4, 9, 5, 10, 8, 6, 7, 3, 2 számsorrend esetén.

Statistics:

121 students sent a solution.
5 points:	77 students.
4 points:	19 students.
3 points:	6 students.
2 points:	1 student.
1 point:	9 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2021