Problem K. 704. (November 2021)

K. 704. There were 5 participants in a chess tournament. Each player played every other player once. 1 point was awarded for winning the game, 0.5 point for a draw and 0 for losing. At the end, it turned out that:

– the player finishing in the first place had no draws;

– the player in the second place lost no game;

– each player had a different number of points. Find the score of each player.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Összesen 10 mérkőzés volt, tehát 10 pontot osztottak szét. Az első a másodikkal szemben elvesztette a játszmát, tehát legfeljebb 3 pontja lehet. Mivel nem játszott döntetlent, ezért csak egész pontszáma lehet. Ha 2 (vagy 1 ) pontja lenne, akkor a többi helyezettnek nem lehetne annyi különböző pontszámot adni, hogy összegük 8 legyen (\(\displaystyle 1,5+1+0,5+0 = 3\) pont). Tehát az elsőnek 3 pontja lett, és így a többi helyezett összesen 7 pontot szerzett. Ez csak úgy lehetséges, ha mindenki a 3 pont után a lehető legtöbbet kapja, mert \(\displaystyle 2,5+2+1,5+1=7\). Tehát a versenyzők pontszáma helyezésük szerint 3; 2,5; 2; 1,5; 1. Meg kell még mutatni, hogy létrejöhet ilyen eredmény: Az első a másodiktól kikapott, a többieket legyőzte, így 3 pontja lett. A második az elsőt legyőzte, a többiekkel döntetlent játszott. A harmadik az elsőtől kikapott, a másodikkal és a negyedikkel döntetlent játszott, az ötödiket legyőzte. A negyedik kikapott az elsőtől, és döntetlent játszott a másodikkal, a harmadikkal és az ötödikkel, az ötödiknek így összesen két döntetlenje lett.

Statistics:

122 students sent a solution.
5 points:	Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Biborka Bernadett, Csáki Botond Benjámin, Derűs Ádám , Domján István, Egyházi Godó, Feczkó Illés Tivadar, Fercsák Flórián, Ferenczi Bence, Folly-Ritvay Levente Miklós, Garamszegi Hanna, Hauser Márton, Iván Máté Domonkos, Jakubovics Kinga, Jankovics Gábor, Juhos Bálint András, Kendrovszki Dominik, Kriston Nándor, Medgyesi Júlia, Mészáros Lilla, Nagy Anna Éva, Oláh András, Papp Zsófia, Peiker Flóra, Pulka Gergely Tamás, Puskás Péter, Rási Bence, Sándor Botond, Suhajda Linda , Szepessy Zsombor András, Téglás Dorka, Tóth Ágoston, Ujpál Bálint, Visontai Viktor, Wang Kehan.
4 points:	40 students.
3 points:	17 students.
2 points:	15 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021