Problem K. 705. (November 2021)

K. 705. Three different numbers are chosen from 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and added. This is performed for every possible selection of three numbers. Some of the sums obtained will be even and some will be odd. Which kind of result will occur more frequently: even or odd?

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Négy páros és négy páratlan számunk van. Az összeg pontosan akkor lesz páros, ha mindhárom szám páros, vagy egy páros és két páratlan szám szerepel benne. Mindhárom szám páros négyféleképpen (2-4-6, 2-4-8, 2-6-8, 4-6-8), egy páros és két páratlan szám (1-3, 1-5, 1-7, 3-5, 3-7, 5-7) pedig \(\displaystyle 4\cdot6=24\)-féleképpen lehet. Összesen 28 esetben lesz páros az összeg.

Az összeg pontosan akkor lesz páratlan, ha mindhárom szám páratlan, vagy egy páratlan és két páros szám szerepel benne.

Mindhárom páratlan négyféleképpen lehet (1-3-5, 1-3-7, 1-5-7, 3-5-7), egy páratlan és két páros (2-4, 2-6, 2-8, 4-6, 4-8, 6-8) pedig \(\displaystyle 4\cdot=24\)-féleképpen lehet. Összesen 28 esetben lesz páratlan az összeg.

Tehát ugyanannyi páros és páratlan összeget kapunk.

2. megoldás. Mivel ugyanannyi páros számunk van, mint páratlan, ezért ugyanannyi féle módon választhatunk három párosat, mint három páratlant. Az előbbiek összege páros, utóbbiaké páratlan lesz.

Hasonlóan meggondolható, hogy ugyanannyiféleképpen választhatunk ki egy páros és két páratlan számot, mint egy páratlant és két párost. Előbbiek összege páros, utóbbiaké páratlan lesz.

Mivel a kiválasztott három szám paritását tekintve minden lehetőséget megvizsgáltunk, kijelenthető, hogy az eredmények között ugyanannyi lesz páros, mint páratlan.

Statistics:

117 students sent a solution.
5 points:	56 students.
4 points:	10 students.
3 points:	35 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021