Problem K. 706. (November 2021)

K. 706. Three numbers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) are entered (left to right) in the first row of a three column table. The numbers in the second row are \(\displaystyle a-b\), \(\displaystyle b-c\), \(\displaystyle c-a\). In the third row, the numbers are obtained by the same rule from the second row (the same operations carried out with the numbers of the first, second and third fields), and so on. Show that from the fourth row onwards 2021 cannot occur in the table.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Sajnos a feladat szövegéből kimaradt, hogy egész számokról van szó. Aki jó megoldást adott, feltételezve, hogy egész számokról van szó, az megkapta az 5 pontot.

Megoldás, ha egész számokról van szó: Az első sor \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\). A második sor \(\displaystyle a-b\), \(\displaystyle b-c\), \(\displaystyle c-a\). A harmadik sor \(\displaystyle a+c-2b\), \(\displaystyle b+a-2c\), \(\displaystyle c+b-2a\). A negyedik sor \(\displaystyle 3c-3b\), \(\displaystyle 3a-3c\), \(\displaystyle 3b-3a\). Innen kezdve minden szám 3-mal osztható lesz, mert 3-mal osztható számok különbségeként fogjuk előállítani. Mivel a 2021 nem osztható 3-mal, ezért nem fordulhat elő a táblázat 4. sorától kezdve.

Ha nem tesszük fel, hogy egész számokról van szó, akkor a megoldás pl. a következő: Az ötödik sor \(\displaystyle (3c-3b)-(3a-3c)=6c-3a-3b\), \(\displaystyle (3a-3c)-(3b-3a)=6a-3b-3c\) és \(\displaystyle (3b-3a)-(3c-3b)=6b-3a-3c\). Legyen mondjuk \(\displaystyle a=0\) és \(\displaystyle b=1\), ekkor \(\displaystyle 6c-3=2021\) alapján \(\displaystyle c=\frac{1012}{3}\). Tehát megadható olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számhármas, melyre a 2021 szerepel pl. az 5. sorban. Aki megfelelő indoklással adott példát olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) számokra, amelyek esetén a 4. sor után valamelyik szám 2021, az is megkapta az 5 pontot.

Statistics:

70 students sent a solution.
5 points:	51 students.
4 points:	3 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	8 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2021