Problem K. 710. (December 2021)

K. 710. There are some dodecahedra and some icosahedra on the table. The solids have 792 vertices and 936 faces altogether. How many dodecahedra and how many icosahedra are there on the table?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A dodekaédernek 8-cal több csúcsa van, mint lapja (20 csúcs, 12 lap), az ikozaédernek pedig 8-cal kevesebb csúcsa van, mint lapja (12 csúcs, 20 lap). Egy dodekaédernek és egy ikozaédernek összesen 32 csúcsa és 32 lapja van. Mivel a lapok száma összesen több, mint a csúcsok száma, ezért több ikozaéder van, mint dodekaéder és a lapok többletét a dodekaéderek számán felüli ikozaéderek adják, darabonként 8-at. Így a dodekaéderek számán felüli ikozaéderek száma: \(\displaystyle (936-792):8=144:8=18\), azaz 36 ikozaéder és 18 dodekaéder van az asztalon. (Ellenőrzés: \(\displaystyle 18\cdot20+36\cdot12=792\), illetve \(\displaystyle 18\cdot12+36\cdot20=936\).)

Statistics:

107 students sent a solution.
5 points:	92 students.
4 points:	7 students.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2021