Problem K. 714. (January 2022)

K. 714. The first term of a sequence is 3, and every further term is obtained by subtracting 2 from the double of the previous term.

\(\displaystyle a)\) List the first 8 terms of the sequence.

\(\displaystyle b)\) Which of the numbers below occur as terms of the sequence, and which of them do not occur? If a number occurs as a term, find the index of the term, otherwise explain why it is not a term of the sequence.

\(\displaystyle 8194,\quad 649\,287\,365,\quad 29\,453\,759\,372,\quad 8\,398\,507\,839\,348. \)

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) 3, 4, 6, 10, 18, 34, 66, 130.

\(\displaystyle b)\) Felírva még néhány tagot: 258, 514, 1026, 2050, 4098, 8194.

A sorozat tagjai egyre nagyobbak lesznek. A 8194 a 14. tagja a sorozatnak.

A \(\displaystyle 649\,287\,365\) nem tagja a sorozatnak, mert a második tagtól kezdve a képzési szabály miatt minden tag páros.

A \(\displaystyle 29\,453\,759\,372\) nem tagja a sorozatnak, mert a sorozat tagjainak utolsó számjegye (a második tagtól kezdve) ismétlődik: 4, 6, 0, 8 periódus szerint a képzési szabály következtében.

A \(\displaystyle 8\,398\,507\,839\,348\) nem tagja a sorozatnak, mert a sorozat tagjainak 4-es maradéka a harmadik tagtól kezdve 2 (4-es maradékok: 3, 4, 2, 2, 2, … ). Ez azért van így, mert ha egy szám 4-es maradéka 2, akkor a kétszerese osztható 4-gyel, így a kétszeresénél 2-vel kisebb szám négyes maradéka ismét 2 lesz, és így tovább. A \(\displaystyle 8\,398\,507\,839\,348\) pedig osztható 4-gyel, hiszen \(\displaystyle 4|48\).

Megjegyzés. Ez utóbbi indoklás megfelelő arra is, hogy \(\displaystyle 29\,453\,759\,372\) miért nem tagja a sorozatnak, hiszen \(\displaystyle 4|72\) is teljesül.

Statistics:

100 students sent a solution.
5 points:	Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Csáki Botond Benjámin, Császár Milán, Csiszár András, Deményi Zalán, Domján István, Fehér Eszter, Fehér Hanna, Fercsák Flórián, Ferenczi Bence, Garamszegi Hanna, Gregor Vivien Veronika, Gyuricsek Ákos, Herpai József Mátyás, Iván Máté Domonkos, Jakubovics Kinga, Jurányi Benedek, Kiss 152 Róbert Ádám, Kisszölgyémi Zsófia, Klement Tamás, Kopcsa Domonkos, Körmendi György, Li Jiamo, Márfai Dóra, Medgyesi Júlia, Mindszenti Balázs, Nagy Huba, Nagy Krisztofer , Oláh András, Oleár Ákos, Papp Zsófia, Pocsay Levente László, Pónus Marcell, Pulka Gergely Tamás, Puskás Péter, Rási Bence, Sándor Botond, Sebők Violetta Írisz, Simon Bálint, Szabó Donát, Személyi Sebestyén Gábriel, Szolnoki Máté Tódor, Ujpál Bálint, Wang Kehan, Wodala Gréta Klára.
4 points:	23 students.
3 points:	13 students.
2 points:	7 students.
1 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022