Problem K. 719. (February 2022)

K. 719. Each integer on the number line is coloured either red or blue. Is it certain for all possible colourings that

\(\displaystyle a)\) there will be two numbers of the same colour separated by a distance of 3;

\(\displaystyle b)\) there will be two numbers of the same colour separated by a distance of 3 or 4?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Nem igaz. Színezzük a páros számokat jelző pontokat pirosra, a páratlanokat kékre. Ekkor az azonos színű pontok távolsága csak páros lehet, vagyis 3 nem.

Másképp: Nem igaz. Készítünk egy olyan színezést, melyben két azonos színű pont távolsága nem lehet 3.

Legyen a 0 pl. kék. Ekkor a 3 piros, a 6 kék, a 9 piros és így tovább (-3 , -6, -9, … esetén is.)

Legyen az 1 kék, ekkor a 4 piros, a 7 kék, a 10 piros és így tovább (negatív irányban is hasonlóan). . A kék színű 2-ből is hasonlóképpen kiindulva felváltva színezzük a pontokat: az 5 piros, a 8 kék, a 11 piros, stb. (és negatív irányban ugyanígy).

(Ha az egészre ránézünk: hármasával vannak színezve a pontok, \(\displaystyle (0;1;2)\) kék, \(\displaystyle (3;4;5)\) és \(\displaystyle (-3;-4;-5)\) piros, \(\displaystyle (6;7;8)\) és \(\displaystyle (-6;-7;-8)\) kék, stb.; így minden pont harmadszomszédja éppen másik színű, mint ő maga.)

b) Az állítás igaz. Legyen a 0 pl. kék. Ekkor a 3 piros, a 6 kék, a 9 piros és a 12 kék kell legyen, hogy ne legyen két 3 távolságra lévő pont azonos színű. Viszont, ha a 0 kék színű, akkor a 4 piros, a 8 kék és a 12 piros kell legyen, hogy ne legyen két 4 távolságra lévő pont azonos színű. De így a 12 egyszer kék, egyszer piros színű lenne, ami nem lehet, azaz lesz vagy 3, vagy 4 távolságra két azonos színű pont.

Statistics:

82 students sent a solution.
5 points:	65 students.
4 points:	3 students.
3 points:	2 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022